Bài dự thi của ngojsaoleloj8814974
2, Giải bất Phương trình
[TEX]\sqrt[]{(x+1)(x-2010)(x-2011)}+ \sqrt[]{(x+2)(x-2010)(x-2011)}\geq \sqrt[]{(x+3)(x-2010)(x-2011)} (1)[/TEX]
Điều kiện:
[tex]\left{\begin{(x+1)(x-2010)(x-2011)\geq0}\\{(x+2)(x-2010)(x-2011)\geq0}\\{(x+3)(x-2010)(x-2011)\geq0} [/tex]
Lập bảng xét dấu thì hệ bất phương trình trên sẽ tương đương với:
[TEX]\left[\begin{-1\leq x \leq2010}\\{x\geq2011} [/TEX]
Cả 2 trường hợp thì các hạng tử:
[TEX](x+1);(x+2);(x+3);(x-2010)(x-2011)[/TEX] đều là những số không âm nên:
[TEX](1)\Leftrightarrow \sqrt[]{(x-2010)(x-2011)}(\sqrt[]{x+1}+\sqrt[]{x+2}-\sqrt[]{x+3})\geq0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \sqrt[]{x+1}+\sqrt[]{x+2}\geq \sqrt[]{x+3}[/TEX]
Tương đương sai
[TEX]\Leftrightarrow x+1+x+2+2\sqrt[]{(x+1)(x+2)}\geq x+3[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow x+2\sqrt[]{(x+1)(x+2)} \geq0[/TEX](*)
Trường hợp [TEX]x\geq0 [/TEX]thì bất phương trình luôn luôn đúng.
Trường hợp:[TEX] -1 \leq x < 0 :[/TEX]
(*)[TEX]\Leftrightarrow x^2 \leq 4(x^2+3x+2)[/TEX]
[TEX]\Rightarrow 3x^2+12x+8 \geq0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \left[\begin{x\leq\frac{-6-2\sqrt[]{3}}{3}(KTM)}\\{x\geq\frac{-6+2\sqrt[]{3}}{3}(TM)} [/TEX]
Vây bất PT có nghiệm:
[TEX]\left[\begin{x\geq 2011}\\{\frac{-6+2\sqrt[]{3}}{3} \leq x \leq2010} [/TEX]
Câu 3,
Cho a;b;x;y là xác số không âm thỏa mãn điều kiện:
[TEX]\left{\begin{a^{2011}+b^{2011}\leq1}\\{x^{2011}+y^{2011}\leq1} [/TEX]
Chứng minh bất đẳng thức:
[TEX]ax^{2010}+by^{2010}\leq1[/TEX]
Áp dụng BĐT Cauchy Với 2011 số không âm [TEX](2010 [/TEX]số[TEX] x^{2011}[/TEX] và [TEX]1 [/TEX]số [TEX]a^{2011})[/TEX]
[TEX]x^{2011}+x^{2011}+.........+x^{2011}+a^{2011} \geq 2011ax^{2010}[/TEX]
Áp dụng BĐT Cauchy Với 2011 số không âm [TEX](2010 [/TEX]số[TEX] y^{2011}[/TEX] và [TEX]1 [/TEX]số [TEX]b^{2011})[/TEX]
[TEX]y^{2011}+y^{2011}+.........+y^{2011}+b^{2011} \geq 2011by^{2010}[/TEX]
Cộng 2 BĐT trên vế theo vế ta được:
[TEX]2010(x^{2011}+y^{2011})+(a^{2011}+b^{2011}) \geq 2011({ax^{2010}+by^{2010})[/TEX]
Mà[TEX]2010( x^{2011}+y^{2011})+(a^{2011}+b^{2011}) \leq 2011[/TEX] nên:
[TEX]2011({ax^{2010}+by^{2010})\leq2011[/TEX]
[TEX]\Rightarrow{ax^{2010}+by^{2010} \leq 1[/TEX]
Đẳng thức xảy ra khi:
[TEX]x=y=a=b=\sqrt[2011]{\frac{1}{2}}[/TEX]
1-
[TEX]a, (x-2011)^2-1=\sqrt[]{x-2010}(1)[/TEX]
ĐK: [TEX]x \geq 2010[/TEX]
[TEX](1) \Leftrightarrow (x-2010)(x-2012)-\sqrt[]{x-2010}=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \sqrt[]{x-2010}[\sqrt[]{x-2010}(x-2012)-1]=0[/TEX]
Trường hợp 1:
[TEX]\sqrt[]{x-2010}=0 \Leftrightarrow x=2010 (TM)[/TEX]
Trường hợp 2:
[TEX]\sqrt[]{x-2010}(x-2012)-1=0(2)[/TEX]
ĐK: [TEX]x>2012[/TEX]
Đặt [TEX]t=\sqrt[]{x-2010}>1[/TEX]
Khi đó:
[TEX](2)\Leftrightarrow t(t^2-2)-1=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow t^3-2t-1=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (t+1)(t^2-t-1)=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \left[\begin{t+1=0(KTM)}\\{t^2-t-1=0} [/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow \left[\begin{t=\frac{1+\sqrt[]{5}}{2}(TM)}\\{\frac{1-\sqrt[]{5}}{2} (KTM)} [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 2(x-2010)=3+\sqrt[]{5}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow x=\frac{4023+\sqrt[]{5}}{2} (TM)[/TEX]
Vậy PT có 2 nghiệm
[TEX]\left[\begin{x=2010}\\{ x=\frac{4023+\sqrt[]{5}}{2}} [/TEX]
Câu 5:
a,
Tìm điểm M thỏa [TEX] \vec{MA}+2010\vec{MB}+2011\vec{MC}=0[/TEX]
Gọi H là trung điểm của AC, G là trung điểm của BC khi đó ta có HG là đường thẳng cố định.
[TEX] \vec{MA}+2010\vec{MB}+2011\vec{MC}=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (\vec{MA}+\vec{MC})+2010(\vec{MB}+\vec{MC})=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 2\vec{MH}+4020\vec{MG}=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \vec{MH}=-2010\vec{MG}[/TEX]
Suy ra M nằm trên HG và thỏa mãn[TEX] \vec{MH}=-2010\vec{MG}[/TEX]
b, Tìm quỹ tích của điểm N thỏa:
[TEX]| \vec{NA}+2010\vec{NB}+2011\vec{NC}|= |\vec{NA}+\vec{NB}+\vec{NC}|(1)[/TEX]
Gọi I là trọng tâm của tam giác ABC:
Ta có:
[TEX]\vec{NA}+2010\vec{NB}+2011\vec{NC}=\vec{NM}+\vec{MA}+2010(\vec{NM}+\vec{MB})+2011(\vec{NM}+\vec{MC})[/TEX]
Theo câu a thì ta có [TEX]\vec{MA}+2010\vec{MB}+2011\vec{MC}=0[/TEX] nên:
[TEX]| \vec{NA}+2010\vec{NB}+2011\vec{NC}|=4022|\vec{NM}|(2)[/TEX]
Ta lại có:
[TEX]|\vec{NA}+\vec{NB}+\vec{NC}|=3|\vec{NI}|(3)[/TEX]
[TEX](1)(2)(3) \Rightarrow 4022|\vec{NM}|=3|\vec{NI}|[/TEX]
Vì I;M cố định nên IM cố định do đó:
N nằm trên MI và thỏa mãn [TEX]4022|\vec{NM}|=3|\vec{NI}|[/TEX]
--->Kết luận quỹ tích sai
Câu 4:
Trong một đề thi có 3 câu:một câu về số học, một câu về giải tích, một câu về hình học.Trong 60 thí sinh dự thi, có 48 thí sinh giải được câu số học, 40 thí sinh giải được câu giải tích, 32 thí sinh giải được câu hình học. Có 57 thí sinh giải được câu số học hoặc giải tích, 50 thí sinh giải được câu giải tích hoặc hình học, 25 thí sinh giải được cả hai câu số học và hình học, 15 thí sinh giải được cả 3 câu. Hỏi có bao nhiêu thí sinh không giải được câu nào.
Gọi a là số học sinh chỉ giải được câu số học.
Gọi b là số học sinh chỉ giải được câu giải tích.
Gọi c là số học sinh chỉ giải được câu hình học.
Gọi a' là số học sinh chỉ giải được 2 câu hình học và giải tích.
Gọi b' là số học sinh chỉ giải được 2 câu số học và hình học.
Gọi c' là số học sinh chỉ giải được 2 câu số học và giải tích.
Gọi x là số học sinh giải được cả 3 câu.
a,b,c,a',b',c',x là các số tự nhiên
Khi đó theo giải thuyết của bài toán ta suy ra:
a+b'+c'+x=48
b+c'+a'+x=40
c+b'+a'+x=32
a+b+a'+b'+c'+x=57
b+c+b'+c'+a'+x=50
b'+x=25
x=15
Thay x=15; b'=10 vào 5 phương trình đầu ta được:
a+c'=23(1)
c'+a'+b=25(2)
c+a'=7(3)
a+b+a'+c'=32(4)
b+c+c'+a'=25(5)
Từ (1)và (3) ta có:c'=23-a ; a'=7-c thế vào (2);(4);(5) ta được:
b+30-a-c=25
a+b+30-a-c=32
b+c+30-a-c=25
suy ra:
a=7
b=2
c=0
Suy ra
a=7
b=2
c=0
a'=7
b'=10
c'=16
x=15
Số học sinh không giải được câu nào sẽ bằng:
60-(a+b+c+a'+b'+c'+x)=3
( thực ra từ (2) và (5) ta có thể suy ra c=0 rồi kết luận, làm thế này đẻ dễ dàng kiểm tra hơn....!!)
Đúng nhưng dài quá ^^
Kết quả :
Câu 1,3,4: 2 điểm
Bài 2: 1 điểm
Câu 5: 1,5 điểm
Tổng điểm : 8,5
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
