Toán 10 [CĐHT Toán 10] Phương pháp quy nạp toán học

[JUN._.]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC​

Làm thế nào để chứng minh một mệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên n? Trong bài này chúng ta sẽ tìm hiểu về phương pháp quy nạp toán học – một phương pháp hiệu quả chứng minh mệnh đề phụ thuộc số tự nhiên n

1. Khái niệm​

Để khẳng định mệnh đề toán học phụ thuộc vào số tự nhiên n là đúng, ta phải chứng minh dù miền nghiệm nó có giá trị bao nhiêu đi nữa

Để chứng minh mệnh đề phụ thuộc $n \in \mathbb{N^*}$, đúng với mọi $n \in \mathbb{N^*}$, bằng phương pháp quy nạp toán học, gồm 2 bước sau:
- Bước 1:Kiểm tra mệnh đề là đúng với n = 1
- Bước 2: Giả thuyết rằng mệnh đề đúng với mọi $n=k \ge 1$ (gọi là giả thuyết quy nạp), chứng minh rằng mệnh đề đúng với n = k + 1. Kết luận

Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên [imath]n \ge 1[/imath] , ta có​

1 + 3 + 5 + 7 + … + (2n – 1) =[imath]n^2[/imath] (1)

Giải​

Ta chứng minh quy nạp theo n
Bước 1: Với n = 1, ta có 1 =[imath]1^2[/imath]
Như vậy (1) đúng cho trường hợp n = 1
Bước 2: Giả sử (1) đúng với n=k tức là ta có:
1 + 3 + 5 + 7 + … + (2k – 1) =[imath]k^2[/imath] (giả thuyết quy nạp)
Ta sẽ chứng minh (1) cũng đúng với n = k + 1, nghĩa là ta sẽ chứng minh
1 + 3 + 5 + 7 + … + (2k – 1)+[ 2(k + 1)-1] =[imath](k+1)^2[/imath]
Thật vậy, ta có:
1 + 3 + 5 + 7 + … + (2k – 1)+[2(k + 1)-1]
=[1 + 3 + 5 + 7 + … + (2k – 1)]+[2(k + 1)-1]
=[imath]k^2[/imath] + (2k + 1) (theo giả thuyết quy nạp)
= =[imath]k^2[/imath] + 2k + 1 = [imath](k+1)^2[/imath]
Vậy (1) đúng với mọi số tự nhiên [imath]n \ge 1[/imath]

Nếu phải chứng minh một mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên $n \ge p$ (p là một số tự nhiên nào đó) thì
Bước 1:Kiểm tra mệnh đề là đúng với n = p
Bước 2: Giả thuyết rằng mệnh đề đúng với mọi $n=k \ge p$ , chứng minh rằng mệnh đề đúng với n = k + 1. Kết luận

Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên [imath]n \ge 2[/imath] ta có đẳng thức:​

[imath]( 1 - \dfrac{1}{2^2})(( 1 - \dfrac{1}{3^2})…( 1 - \dfrac{1}{n^2}) = \dfrac{n+1}{2n}[/imath] (2)

Giải ​

Ta chứng minh (2) bằng quy nạp theo n
Với n = 2, ta có [imath]( 1 - \dfrac{1}{2^2}) = \dfrac{3}{4}= \dfrac{2+1}{2.2}[/imath] Như vậy (2) đúng với n=2
Giả sư (2) đúng với n = k([imath]k \ge 2[/imath]) tức là
[imath]( 1 - \dfrac{1}{2^2})(( 1 - \dfrac{1}{3^2})…( 1 - \dfrac{1}{k^2}) = \dfrac{k+1}{2k}[/imath]
Ta sẽ chứng minh công thức trên với n = k +1, nghĩa là ta sẽ chứng minh
[imath]( 1 - \dfrac{1}{2^2})( 1 - \dfrac{1}{3^2})…(1 - \dfrac{1}{k^2})(1 - \dfrac{1}{(k+1)^2}) = \dfrac{k+2}{2(k+1)}[/imath]
Thật vậy sử dụng giả thuyết quy nạp, ta có:
[imath]( 1 - \dfrac{1}{2^2})( 1 - \dfrac{1}{3^2})…(1 - \dfrac{1}{k^2})(1 - \dfrac{1}{(k+1)^2})[/imath]
= [imath]\dfrac{k+1}{2k} . (1 - \dfrac{1}{(k+1)^2})[/imath]= [imath]\dfrac{k+1}{2k} . \dfrac{(k+1)^2 - 1}{(k+1)^2}[/imath]
= [imath]\dfrac{k+1}{2k} . \dfrac{(k+1-1)(k+1+1}{(k+1)^2}[/imath] = [imath]\dfrac{k+2}{2(k+1)}[/imath].
Vậy (2) đúng với [imath]n \ge 2[/imath]

 

[JUN._.]

2. Một số ứng dụng khác của phương pháp quy nạp toán học​

Ví dụ 3: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n​

n(n + 1)(n + 2)luôn chia hết cho 3. (3)

Giải​

Ta chứng minh (3) bằng quy nạp theo n
Với n = 0 ta có 0. (0+1).(0+2)=0, chia hết cho 3.
Vậy (3) đúng với n=0.
• Giả sử (3) đúng với n = k, tức là

k(k+1)(k + 2) chia hết cho 3,​

ta cần chứng minh (3) đúng với n = k + 1.
Từ giả thiết quy nạp ta suy ra k(k + 1)(k + 2) = 3m, với m là số tự nhiên nào đó.
Khi đó ta có
(k+1)(k+2)(k+3)=(k+3)(k+1)(k+2)=k(k+1)(k +2)+3(k+1)(k +2)
= 3m+3(k + 1)(k +2)=3[m+(k+1)(k + 2)], chia hết cho 3.
Vậy (3) đúng với mọi số tự nhiên n.

Ví dụ 4: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 3, ta có​

[imath]2^n >2n+1[/imath]. (4)

Giải​

Ta chứng minh bất đẳng thức (4) bằng quy nạp theo n, với n ≥ 3.
• Với n = 3 ta có [imath]2^3 >7=2 . 3+1[/imath].
Vậy (4) đúng với n = 3.
Giả sử (4) đúng với n = k≥3, tức là ta có [imath]2^k >2k+1[/imath].
Ta cần chứng minh (4) đúng với n = k + 1, tức là chứng minh [imath]2^{k+1} > 2(k+1)+1=2k+3.[/imath]
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp, ta có [imath]2^{k+1}=2.2^k>2.(2k+1)=4k+2=2k+2(k+1)> 2k + 3[/imath] do k ≥3.
Vậy bất đẳng thức (4) đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 3.

Ví dụ 5: Sử dụng phương pháp quy nạp toán học, chứng minh rằng tổng các góc trong của một đa giác n cạnh (n ≥ 3) là [imath](n – 2)-180^o[/imath].​

Giải.
​

Ta chứng minh khẳng định trên bằng quy nạp theo n, với n ≥3.
• Với n = 3, ta có tổng ba góc của một tam giác bằng 180° = (3–2) 180°.
Vậy khẳng định đúng với n = 3.
• Giả sử khẳng định đúng với n = k≥3, ta sẽ chứng minh nó đúng với n = k + 1
Thật vậy, xét đa giác k+1 cạnh [imath]A_1 A_2 … A_k A_{k+1}[/imath] nối hai đỉnh [imath]A_1[/imath] và [imath]A_k[/imath] ta được đa giác k cạnh [imath]A_1 A_2...A_k[/imath] Theo giả thiết quy nạp, tổng các góc của đa giác k cạnh này bằng [imath](k-2).180^o[/imath]
Dễ thấy tổng các góc của đa giác [imath]A_1 A_2 … A_k A_{k+1}[/imath] bằng tổng các góc của đa giác
[imath]A_1A_2 … A_k[/imath] cộng với tổng các góc của tam giác [imath]A_{k+1} A_k A_1[/imath]
tức là bằng (k-2).180° +180°(k-1)-180° = [(k+1)-2].180°.
Vậy khẳng định đúng với mọi đa giác n cạnh, n ≥ 3.