Toán 10 [CĐHT Toán 10]Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn (1)

[JUN._.]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN (1)​

Chào mọi người! Chúng ta sẽ tìm hiểu về chuyên đề hệ phương trình bậc nhất ba ẩn - chuyên đề này có rất nhiều ứng dụng của chúng trong nhiều môn khoa học khác như Vật lí, Hóa học, Sinh học, Kinh tế học ...
Ở phần 1 chúng ta sẽ tìm hiểu về những khái niệm và cách giải của hệ phương trình này!

1. Khái niệm hệ phương trình bậc nhất 3 ẩn​

Phương trình bậc nhất 3 ẩn có dạng tổng quát là:

ax+by+cz = d​

Trong đó: x, y, z là 3 ẩn
a,b, c, d là các hệ số và a,b,c không đồng thời bằng 0
Mỗi bộ ba số ($x_{0}$;$y_{0}$;$z_{0}$) thỏa mãn a$x_{0}$ + b$y_{0}$ + c$z_{0}$ = d gọi là một nghiệm của phương trình bậc nhất 3 ẩn đã cho

Ví dụ 1: Bộ ba (3; 7; 8) là nghiệm của phương trình 4x + 5y +6z = 95

Hệ phương trình bậc nhất 3 ẩn là hệ gồm một số phương trình bậc nhất 3 ẩn. Mỗi nghiệm chung của các phương trình đó được gọi là nghiệm của hệ phương trình đã cho.

Ví dụ 2: Bộ ba (x; y; z) = (1; 3; -2) thỏa mãn cả ba phương trình của hệ [math]\left\{\begin{matrix} x + y + z = 2 \\x + 2y + 3z = 1\\ 2x + y + 3z = -1 \end{matrix}\right.[/math]Vậy Bộ ba (1; 3; -2) là một nghiệm của hệ

Nói riêng, hệ phương trình bậc nhất 3 ẩn có dạng:
$$\left\{\begin{matrix} a_{1}x + b_{1}y + c_{1}z = d_{1} \\a_{2}x + b_{2}y + c_{2}z = d_{2}\\ a_{3}x + b_{3}y + c_{3}z = d_{3} \end{matrix}\right.$$
Trong đó: x,y,z là 3 ẩn; các chữ số còn lại là hệ số. Ở đây, trong mỗi phương trình: ít nhất các hệ số$a_{i}, b_{i}, c_{i}, d_{i}, i=(1, 2, 3)$ phải ít nhất khác 0

2. Giải phương trình bậc nhất 3 ẩn bằng phương pháp GAUSS​

Hệ phương trình dạng tam giác là hệ phương trình có số biến giảm dần (Ví dụ: phương trình thứ nhất 3 biến, phương trình thứ hai 2 biến, phương trình thứ ba 1 biến đối với hệ có 3 phương trình)

Các bước giải hệ phương trình dạng tam giác:
- Bước 1: Giải từ phương trình chứa 1 ẩn.
- Bước 2: Thay giá trị tìm được của ẩn(tìm được ở bước 1) này vào phương trình chứa 2 ẩn để tìm giá trị của ẩn thứ hai.
- Bước 3: Thay các giá trị tìm được vào phương trình còn lại để tìm giá trị của ẩn thứ ba.

Ví dụ 3: Giải hệ phương trình:
[math]\left\{\begin{matrix} x + y -2z = 3(1) \\ y + z = 7(2)\\ 2z = 4(3) \end{matrix}\right.[/math]Bước 1:Từ phương trình (3) suy ra z= 4:2= 2
Bước 2: Thay z = 2 vào (2), ta được y+2=7 [imath]\Leftrightarrow[/imath] y = 5
Bước 3: Thay z = 2 và y = 5 vào (1), ta được: x + 5 – 2.2 = 3 [imath]\Leftrightarrow[/imath] x + 5 – 4 = 3 [imath]\Leftrightarrow[/imath] x = 3 – 5 + 4 =2
Vậy nghiệm của hệ đã cho là (x;y;z) = (2; 5; 2)

Để giải hệ phương trình bậc nhất 3 ẩn, ta đưa hệ đó về một hệ giản đơn(thường có dạng tam giác), bằng cách sử dụng phép biến đổi sau đây:
-Nhân hai vế của một phương trình với một số khác 0;
- Đổi vị trí hai phương trình của hệ;
- Cộng mỗi vế của một phương trình (sau khi đã nhân với một số khác 0) với vế tương ứng của phương trình khác để được phương trình với số ẩn ít hơn
Từ đó có thể giải phương trình đã cho. Phương pháp này được gọi là phương pháp Gauss

Ví dụ 4: Giải hệ phương trình:
[math]\left\{\begin{matrix} x + y -2z = 3(1) \\ -x +y + 6z = 13(2)\\ 2x + y - 9z = -5(3) \end{matrix}\right.[/math]Cộng (1) và (2), ta được 2y + 4z = 16 (4)
Nhân (1) với -2, ta được -2x - 2y + 4z = -6 (5)
Cộng (3) và (5), ta được – y – 5z = -11 (6)
Nhân (6) với 2, ta được: -2y -10z = -22 (7)
Cộng (4) và (7), ta được : -6z = -6(8)
Vậy [math]\left\{\begin{matrix} x + y -2z = 3(1) \\ -x +y + 6z = 13(2)\\ 2x + y - 9z = -5(3) \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x + y -2z = 3(1) \\ 2y +4z = 16 (4)\\ -6z = -6 (8)\end{matrix}\right.[/math]Từ (8) suy ra z=1
Thay z = 1 vào (4), ta được: 2y + 4.1 = 16
[imath]\Leftrightarrow[/imath] 2y + 4 =16
[imath]\Leftrightarrow[/imath] 2y = 12
[imath]\Leftrightarrow[/imath] y = 6
Thay y = 6 và z = 1 vào (1), ta được x + 6 – 2.1 = 3
[imath]\Leftrightarrow[/imath] x + 4 =3
[imath]\Leftrightarrow[/imath] x = -1
Vậy nghiệm của hệ đã cho là (x; y; z) = (-1; 6; 1)

Hệ phương trình bậc nhất 3 ẩn có thể có một nghiệm duy nhất, vô nghiệm hoặc có vô số nghiệm

Ví dụ 5 Giải hệ phương trình sau:

[math]a) \left\{\begin{matrix} 4x + y + 3z = -3 \\ 2x + y - z = 1\\ 5x + 2y = 1 \end{matrix}\right.; b) \left\{\begin{matrix} x + 2z = -2 \\ 2x + y - z = 1\\ 4x + y + 3z = -3 \end{matrix}\right.; c) \left\{\begin{matrix} 2x + y - 3z = 3 \\ x + y + 3z = 2\\ 3x - 2y +z = -1 \end{matrix}\right.[/math]
Giải
a)Đổi chỗ hai phương trình thứ nhất và thứ hai, ta được
[math]\left\{\begin{matrix} 4x + y + 3z = -3 \\ 2x + y - z = 1\\ 5x + 2y = 1 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x + y - z = 1 (1) \\ 4x + y + 3z = -3 (2)\\ 5x + 2y = 1(3) \end{matrix}\right.[/math]Nhân phương trình (1) với 3 rồi cộng với phương trình (2) (để khử ẩn z), ta được:
[math]\left\{\begin{matrix} 2x + y - z = 1 (1) \\ 10x + 4y = 0 (4)\\ 5x + 2y = 1 (3)\end{matrix}\right.[/math]Nhân phương trình (3) với -2 , ta được:
[math]\left\{\begin{matrix} 2x + y - z = 1 (1) \\ 10x + 4y = 0 (4)\\ 10x + 4y = 2 (5)\end{matrix}\right.[/math]Từ 2 phương trình (4), (5) suy ra 0 = 2 , điều này vô lí
Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm
b) [math]\left\{\begin{matrix} x + 2z = -2 (1) \\ 2x + y - z = 1(2)\\ 4x + y + 3z = -3(3) \end{matrix}\right.[/math]Lấy phương trình (3) trừ phương trình(2) (để khử biến y), ta được:
[math]\left\{\begin{matrix} x + 2z = -2 (1) \\ 2x + y - z = 1(2)\\ 2x + 4z = - 4 (4) \end{matrix}\right.[/math]Nhân phương trình (1) với -2 rồi cộng phương trình (4), ta được
[math]\left\{\begin{matrix} 2x + y - z = 1 \\ x + 2z = -2 \\ 0=0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2(-2-2z) + y - z = 1 \\ x = -2 -2z \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y=5+5z \\ x = -2 -2z \end{matrix}\right.[/math]Vậy Hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm với tập nghiệm :
S= {(- 2 - 2z; 5 + 5z; z)| z [imath]\in[/imath] R}
c) Đổi chỗ hai phương trình thứ nhất và thứ hai, ta được
[math]\left\{\begin{matrix} x + y + 3z = 2 (1) \\ 2x + y - 3z = 3 (2) \\ 3x - 2y +z = -1 (3)\end{matrix}\right.[/math]Nhân phương trình (1) với -2 rồi cộng với phương trình (2) , ta được:
[math]\left\{\begin{matrix} x + y + 3z = 2 (1) \\ y + 9z = 1 (4) \\ 3x - 2y +z = -1 (3)\end{matrix}\right.[/math]Nhân phương trình (1) với -3 rồi cộng với phương trình (3), ta được:
[math]\left\{\begin{matrix} x + y + 3z = 2 (1) \\ y + 9z = 1 (4) \\ 5y + 8z = 7 (5)\end{matrix}\right.[/math]Nhân phương trình (4) với -5 rồi cộng với phương trình (5), ta được:
[math]\left\{\begin{matrix} x + y + 3z = 2 (1) \\ y + 9z = 1 (4) \\ -37z = 8 (6)\end{matrix}\right.[/math]Từ (6) suy ra z= [imath]\frac{-2}{37}[/imath] thay vào phương trình (4), ta được
[imath]y +9.(\frac{-2}{37}) = 1 \Leftrightarrow y =1- 9.(\frac{-2}{37}) = \frac{55}{37}[/imath]
Thay y =[imath]\frac{55}{37}[/imath] ; z = [imath]\frac{-2}{37}[/imath] vào phương trình (1), ta được
[imath]x + \frac{55}{37} + 3. (\frac{-2}{37}) = 2[/imath]
[imath]\Leftrightarrow x =\frac{25}{37}[/imath]
Bài tập vận dụng :Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss
[math]a) \left\{\begin{matrix} 2x + 3y = 4 \\ x -3y = 2\\ 2x + y - z = 3 \end{matrix}\right.; b) \left\{\begin{matrix} x + y +z = 2 \\ x + 3y + 2z = 18\\ 3x - y + z = 4 \end{matrix}\right.; c) \left\{\begin{matrix} x - y + 5z = -2 \\ 2x + 1y + 4z = 2\\ x + 2y - z = 4 \end{matrix}\right.[/math]