Bài 2 đầu tiên:
+)Xét bài toán phụ: với a,b,c >0 thoả mãn abc=1 thì A=[tex]\frac{1}{ab+a+1}+\frac{1}{bc+b+1}+\frac{1}{ca+c+1}=1[/tex]
Thật vậy:
Xét: [tex]\frac{1}{bc+b+1}=\frac{a}{abc+ab+a}=\frac{a}{1+ab+a}[/tex]
[tex]\frac{1}{ca+c+1}=\frac{abc}{ca+c+abc}=\frac{ab}{a+1+ab}[/tex]
[tex]\Rightarrow A=\frac{1}{ab+a+1}+\frac{a}{ab+a+1}+\frac{ab}{ab+a+1}=1[/tex]
Vậy bài toán phụ đã dược chứng minh
+) Trở lại bài toán chính:
Ta có: [tex]\frac{1}{(a+1)^{2}+b^{2}+1}=\frac{1}{a^{2}+2a+1+b^{2}+1}=\frac{1}{a^{2}+b^{2}+2a+2}\leq \frac{1}{2ab+2a+2}=\frac{1}{2}.\frac{1}{ab+a+1}[/tex]
CMTT được: [tex]\frac{1}{(b+1)^{2}+c^{2}+1}\leq \frac{1}{2}.\frac{1}{bc+b+1}[/tex]
[tex]\frac{1}{(c+1)^{2}+a^{2}+1}\leq \frac{1}{2}.\frac{1}{ca+c+1}[/tex]
Cộng vế với vế 3 BĐT trên và sử dụng bài toán phụ ra được đpcm
________________________________________________________________________________________________________________
Một kỉ niệm buồn với bài BĐT này...
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
