Toán 9 Câu hỏi kiểm tra học sinh giỏi lớp 9

[thaissimeo112@gmail.com]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Các bạn giúp mình với ạ!
mình cảm ơn~.~
Cho a>0,b>0 thỏa mãn điều kiện [tex]a^{2}=b+3992[/tex] và x,y,z là số dương thỏa mãn x+y+z=a và [tex]x^{2}+y^{2} +z^{2}=b[/tex]
Chứng minh rằng biểu thức P sau không phụ thuộc vào x,y,z
P=x[tex]\sqrt{\frac{(1996+y^{2})(1996+z^{2)}}{1996+x^{2}}}[/tex] + y[tex]\sqrt{\frac{(1996+z^{2})(1996+x^{2})}{1996+y^{2}}}[/tex] + z[tex]\sqrt{\frac{(1996+x^{2})(1996+y^{2})}{1996+z^{2}}}[/tex]

 

[NGÔ TRÍ TIẾN - ĐÓM]

[tex]a^2=b+3992\Leftrightarrow (x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+3992\Leftrightarrow 2xy+2yz+2zx=3992\Leftrightarrow xy+yz+zx=1996[/tex]
[tex]\Leftrightarrow P=x\sqrt{\frac{(1996+y^2)(1996+z^2)}{1996+x^2}}+y\sqrt{\frac{(1996+z^2)(1996+x^2)}{1996+y^2}}+z\sqrt{\frac{(1996+x^2)(1996+y^2)}{1996+z^2}}[/tex]
[tex] P=x\sqrt{\frac{(xy+yz+zx+y^2)(xy+yz+zx+z^2)}{xy+yz+zx+x^2}}+y\sqrt{\frac{(xy+yz+zx+z^2)(xy+yz+zx+x^2)}{xy+yz+zx+y^2}}+z\sqrt{\frac{(xy+yz+zx+x^2)(xy+yz+zx+y^2)}{xy+yz+zx+z^2}}[/tex]
[tex]P=x\sqrt{\frac{(x+y)(y+z)(y+z)(z+x)}{(x+y)(z+x)}}+y\sqrt{\frac{(z+y)(z+x)(z+x)(x+y)}{(z+y)(x+y)}}+z\sqrt{\frac{(x+z)(x+y)(x+y)(y+z)}{(x+z)(y+z)}}[/tex]
[tex]P=x\sqrt{(y+z)^2}+y\sqrt{(z+x)^2}+z\sqrt{(x+y)^2}[/tex]
[tex]P=x(y+z)+y(x+z)+z(x+y)=xy+xz+xy+yz+zx+yz=2xy+2yz+2zx=3992[/tex]
Vậy giá trị của P ko phụ thuộc vào x,y,z (ĐPCM)