Câu hỏi đại số HSG

[bao22122001]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho các số dương a, b, c thỏa mãn 0 \leq a \leq b \leq c \leq 1. CMR:
[TEX]\frac{a}{bc+1}[/TEX] + [TEX] \frac{b}{ac+1}[/TEX] + [TEX]\frac{c}{ab+1}[/TEX] \leq 2
Câu 2: Hiện nay kim đồng hồ chỉ 10 giờ. Sau ít nhất bao lâu thì 2 kim đồng hồ nằm đối diện nhau trên một đường thẳng
Câu 3: a) Tìm 3 số nguyên dương sao cho tổng các nghịch đảo của chúng bằng 2
b) Tìm x, y, z sao cho x + y + z = xyz (x;y;z E N ; x,y,z>0)
Câu 4: Ba lớp 7A, 7B, 7C cùng mua một số gói tăm từ thiện, lúc đầu số gói tăm dự định chia cho 3 lớp tỉ lệ với 5:6:7 nhưng sau đó chia theo tỉ lệ 4:5:6 nên có một lớp nhận được nhiều hơn dự định là 4 gói. Tính tổng số tăm mà 3 lớp đã mua

 

[baochauhn1999]

Câu $3a$:
Gọi $3$ số nguyên dương là: $a;b;c$
Ta có:
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=2$
Do $a;b;c$ bình đẳng nên không mất tính tổng quát ta giả sử $a$\geq$b$\geq$c$ khi đó:
$2=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$\leq$\frac{3}{c}$
$<=>2c$\leq$3$
$<=>c=1$ do $c$ là số nguyên dương
Xét $c=1$ ta có:
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+1=2$
$<=>\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=1$
$<=>1$\leq$\frac{2}{b}$
$<=>b$\leq$2$
$<=>b\in [1;2]$ do $b$ là số nguyên dương
Xét $b=1$ ta có:
$\frac{1}{a}+1=1$
$<=>\frac{1}{a}=0$ $PT$ vô nghiệm
Xét $b=2$ ta có:
$\frac{1}{a}=\frac{1}{2}$
$<=>a=2(TM)$
Vậy $3$ số nguyên dương cần tìm gồm $1$ số bằng $1;2$ số bằng $2$

 

[riverflowsinyou1]

3b
x+y+z=x.y.z
Gia sư x\leqy\leqz
\Rightarrow x+y+z=x.y.z<z.3
\Rightarrow x.y.z<z.3 \Rightarrow x.y<3
\Rightarrow x.y E {1;2}
x.y=1 \Rightarrow loai
x.y=2 \Rightarrow x=1;y=2;z=3
Vậy x=1;y=2;z=3

 

[riverflowsinyou1]

4.

Câu 4: Ba lớp 7A, 7B, 7C cùng mua một số gói tăm từ thiện, lúc đầu số gói tăm dự định chia cho 3 lớp tỉ lệ với 5:6:7 nhưng sau đó chia theo tỉ lệ 4:5:6 nên có một lớp nhận được nhiều hơn dự định là 4 gói. Tính tổng số tăm mà 3 lớp đã mua
$\frac{a}{5}$=$\frac{b}{6}$=$\frac{c}{7}$=$\frac{M}{18}$
\Rightarrow a=$\frac{M.5}{18}$;b=$\frac{M}{3}$;c=$\frac{M.7}{18}$
$\frac{a}{4}$=$\frac{b}{5}$=$\frac{c}{6}$=$\frac{M}{15}$
\Rightarrow a=$\frac{M.4}{15}$;b=$\frac{M}{3}$;c=$\frac{M.6}{15}$
Vì $\frac{M.6}{15}$>$\frac{M.7}{18}$
\Rightarrow ${M.6}{15}$-$\frac{M.7}{18}$=$\frac{M}{90}$=4
Vậy số gọi tâm là 4.90=360 (goi)

 

[mangnon07]

Câu1:
vì 0 \leq a \leq b \leq c \leq nên (a-1).(b-1) \geq 0
ab+1 \geq a+b \Rightarrow c/(ab+c ) \leq c/(a+b) (1)
tương tự: a/(bc+1) \leq a/(b+c) (2) ; b/(ac+1) \leq b/(a+c) (3)
Từ (1),(2),(3)=> a(bc+1)+b/(ac+1)+c/(ab+1) \leq c/(a+b)+a/(b+c)+b/(a+c) (4)
Mà a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b) \leq 2a/(a+b+c)+2b/(a+b+c)+2c/(a+b+c)=2 (5)
Từ (4) và (5)=> ĐPCM

 

[mangnon07]

Câu2:
Để kim h và kim phút nằm trên 1 đường thảng ⇔ kim phút phải chạy nhanh hơn kim h 1/2 vòng đồng hồ nữa
Mà vận tóc kim h là 1/12 (vòng/h) , vận tóc kim phút là 1 vòng trên h
⇒ để nhanh hơn mất số h là
1/2.1/(1−1/12)=6/11
vậy cần ít nhất 6/11 h nữa để thẳng hàng.