Bài này nghĩa là tìm $n$ nguyên dương sao cho $u_n$ là nhỏ nhất.
Bạn ở trên giải sai anh đã xóa rồi, đừng dại theo cách làm đó.
Đầu tiên ta cũng tìm điểm rơi khi $n$ là số thực. Ta có $a^3+b^3+c^3\ge 3abc$ với $a,b,c$ dương và đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$. Nếu $a,b,c$ là các hàm số một biến $x$ nào đó và $3abc$ là một hằng số thì $a=b=c$ nếu có nghiệm thì chính là cực tiểu duy nhất của $f(x)=a^3+b^3+c^3$. Giờ ta tìm cực tiểu của hàm $u_n$
$u_n=\dfrac{n}{2}+\dfrac{n}{2}+\dfrac{2014}{n^2} \ge 3 \sqrt[3]{\dfrac{n}{2}.\dfrac{n}{2}.\dfrac{2014}{n^2}}= 3 \sqrt[3]{\dfrac{1007}{2}}$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\dfrac{n}{2}=\dfrac{n}{2}=\dfrac{2014}{n^2}$ hay là cực tiểu tại $n=\sqrt[3]{4028}\approx 15,9$
Và ta có tính chất. Nếu $x_0$ là cực tiểu của $f(x)$ thì $f(x)$ sẽ đồng biến với một khoảng giá trị nào đó sao cho $x>x_0$ và nghịch biến với một khoảng giá trị nào đó với $x<x_0$
Do $\sqrt[3]{4028}$ là cực tiểu duy nhất với $n$ dương nên $u_{n+1}<u_{n}$ với $0<n\le 15$ và $u_{n+1}>u_{n}$ với $n\ge 16$ nên ta giờ chỉ cần xét $n=15$ hoặc $n=16$ là được. Thử lại thấy $u_{16}<u_{15}$ nên $n=16$ là giá trị cần tìm
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
(