- 27 Tháng mười 2018
- 3,742
- 3,705
- 561
- Hà Nội
- Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
* Một dãy [TEX]U_n[/TEX] được gọi là 1 dãy cấp số cộng (CSC) nếu như từng số hạng của dãy cách đều nhau một khoảng d. d Gọi là công sai của dãy.
VD: [TEX]1,3,5,7...[/TEX] là 1 dãy CSC có công sai bằng 2.
+ Gọi [TEX]U_1[/TEX] là số hạng đầu tiên của dãy, ta dễ dàng nhận thấy số hạng [TEX]U_n[/TEX] được tính bằng: [TEX]U_n=U_1+(n-1)d[/TEX]
+Tính tổng n số hạng đầu của dãy:
[TEX]U_1+U_2+...+U_n=U_1+(U_1+d)+(U_1+2d)+....+(U_1+(n-1)d)[/TEX]
[tex]=n.U_1+(1+2+3+...+n-1)d=nU_1+\frac{(n-1)n}{2}d[/tex]
( do tổng 1+2+3+...+n-1 là tổng các số tự nhiên từ 1 đến n-1, mà ta đã biết tổng các số tự nhiên từ 1 đến n được tính bằng công thức: [tex]\frac{n(n+1)}{2}[/tex] ).
Ta cũng có: [tex]nU_1+\frac{(n-1)n}{2}d=\frac{n}{2}(2U_1+(n-1)d)=\frac{n}{2}(U_1+U_1+(n-1)d)=\frac{n}{2}(U_1+U_n)[/tex].
Công thức này dùng để tính nhanh tổng n số hạng đầu của CSC nếu đề cho [TEX]U_1[/TEX] và [TEX]U_n[/TEX]
+ Với 3 số hạng liên tiếp bất kì của dãy: [tex]U_{n-1},U_{n},U_{n+1}[/tex], ta có: [TEX]U_{n-1}+U_{n+1}=2U_n[/TEX]
Một số dạng toán:
Dạng 1: Tìm các giá trị để dãy tạo thành 1 CSC.
Tìm x để dãy 3 số sau tạo thành 1 CSC: [tex]x^2,2x,3[/tex]
Giải: Để dãy tạo thành 1 CSC thì phải thỏa mãn điều kiện 3 số hạng bất kì của dãy CSC:
[TEX]U_{n-1}+U_{n+1}=2U_n[/TEX]
=>[tex]x^2+3=2.2x<=>x^2-4x+3=0<=>x=1[/tex] hoặc [TEX]x=3[/TEX]
Dạng 2: Chứng minh các số lập thành 1 CSC.
Cho 3 số a,b,c lập thành 1 CSC. Chứng minh rằng 3 số: [TEX]a^2+ab+b^2,a^2+ac+c^2,b^2+bc+c^2[/TEX] lập thành 1 CSC.
Giải: Do a,b,c lập thành 1 CSC, nên ta có: [TEX]a+c=2b[/TEX]
3 số: [TEX]a^2+ab+b^2,a^2+ac+c^2,b^2+bc+c^2[/TEX] lập thành 1 CSC khi và chỉ khi:
[TEX]a^2+2b^2+c^2+ab+bc=2(a^2+ac+c^2)<=>a^2+c^2+2ac-2b^2-b(a+c)=0<=>(a+c)^2-2b^2-b(a+c)=0[/TEX]
Thay [TEX]a+c=2b[/TEX] ta có: [TEX](2b)^2-2b^2-2b.b=0[/TEX] (đúng)
Vậy ta có đpcm.
Dạng 3: Tìm m để PT bậc 3 có 3 nghiệm tạo thành 1 CSC.
Tìm m để pt: [TEX]x^3+3x^2-6x+m=0[/TEX](1)
Giải: Với PT bậc 3, ta có hệ thức Vi-ét như sau: [tex]x_1+x_2+x_3=\frac{-b}{a}[/tex]
Vậy gọi 3 nghiệm của pt (1) là [TEX]x_1,x_2,x_3[/TEX], ta có: [TEX]x_1+x_2+x_3=-3[/TEX]
Điều kiện cần để 3 nghiệm tạo thành 1 CSC là: [TEX]x_1+x_3=2x_2[/TEX]
=>[TEX]3x_2=-3<=>x_2=-1[/TEX]
Điều kiện đủ: pt (1) phải có nghiệm x=-1 nên ta có: [TEX](-1)^3+3(-1)^2-6(-1)+m=0<=>m=-8[/TEX]
Với m=-8 ta có pt (1) trở thành : [TEX]x^3+3x^2-6x-8=0[/TEX] có 3 nghiệm là [TEX]x=-4,x=-1,x=2[/TEX] thỏa mãn tạo thành 1 csc.
Vậy m=-8 là điều kiện cần tìm.
Dạng 4: Tìm các số hạng của 1 CSC thỏa mãn điều kiện cho trước.
Tìm 4 số hạng đầu tiên của 1 CSC biết chúng có tổng là 4 và tổng các bình phương của chúng là 84.
Giải: Ta có thể gọi 4 số hạng đó là : [TEX]a,a+d,a+2d,a+3d[/TEX]d, khi đó ta có:
[tex]\left\{\begin{matrix} 4a+6d=4\\ a^2+(a+d)^2+(a+2d)^2+(a+3d)^2=84 \end{matrix}\right.[/tex]
Sau đó tính a theo d ở pt (1) rồi thế xuống pt (2) là ta có 1 pt bậc 2 để giải. Tuy nhiên có 1 cách đặt giúp ta giải quyết nhanh hơn: gọi 4 số hạng có dạng:[TEX]a-3d,a-d,a+d,a+3d[/TEX]
Như vậy ta có pt (1) lúc này là:4a=4<=>a=1
Và pt (2) lúc này là: [TEX](a-3d)^2+(a-d)^2+(a+d)^2+(a+3d)^2=84<=>4a^2+20d^2=84<=>d^2=4[/TEX]<=>d=2 hoặc d=-2
Do đó ta có dãy CSC thỏa mãn là: [TEX]-5,-1,3,7[/TEX].
** Trong trường hợp dãy CSC gồm 3 số hạng thì ta sẽ đặt : [TEX]a-d,a,a+d[/TEX]
VD: [TEX]1,3,5,7...[/TEX] là 1 dãy CSC có công sai bằng 2.
+ Gọi [TEX]U_1[/TEX] là số hạng đầu tiên của dãy, ta dễ dàng nhận thấy số hạng [TEX]U_n[/TEX] được tính bằng: [TEX]U_n=U_1+(n-1)d[/TEX]
+Tính tổng n số hạng đầu của dãy:
[TEX]U_1+U_2+...+U_n=U_1+(U_1+d)+(U_1+2d)+....+(U_1+(n-1)d)[/TEX]
[tex]=n.U_1+(1+2+3+...+n-1)d=nU_1+\frac{(n-1)n}{2}d[/tex]
( do tổng 1+2+3+...+n-1 là tổng các số tự nhiên từ 1 đến n-1, mà ta đã biết tổng các số tự nhiên từ 1 đến n được tính bằng công thức: [tex]\frac{n(n+1)}{2}[/tex] ).
Ta cũng có: [tex]nU_1+\frac{(n-1)n}{2}d=\frac{n}{2}(2U_1+(n-1)d)=\frac{n}{2}(U_1+U_1+(n-1)d)=\frac{n}{2}(U_1+U_n)[/tex].
Công thức này dùng để tính nhanh tổng n số hạng đầu của CSC nếu đề cho [TEX]U_1[/TEX] và [TEX]U_n[/TEX]
+ Với 3 số hạng liên tiếp bất kì của dãy: [tex]U_{n-1},U_{n},U_{n+1}[/tex], ta có: [TEX]U_{n-1}+U_{n+1}=2U_n[/TEX]
Một số dạng toán:
Dạng 1: Tìm các giá trị để dãy tạo thành 1 CSC.
Tìm x để dãy 3 số sau tạo thành 1 CSC: [tex]x^2,2x,3[/tex]
Giải: Để dãy tạo thành 1 CSC thì phải thỏa mãn điều kiện 3 số hạng bất kì của dãy CSC:
[TEX]U_{n-1}+U_{n+1}=2U_n[/TEX]
=>[tex]x^2+3=2.2x<=>x^2-4x+3=0<=>x=1[/tex] hoặc [TEX]x=3[/TEX]
Dạng 2: Chứng minh các số lập thành 1 CSC.
Cho 3 số a,b,c lập thành 1 CSC. Chứng minh rằng 3 số: [TEX]a^2+ab+b^2,a^2+ac+c^2,b^2+bc+c^2[/TEX] lập thành 1 CSC.
Giải: Do a,b,c lập thành 1 CSC, nên ta có: [TEX]a+c=2b[/TEX]
3 số: [TEX]a^2+ab+b^2,a^2+ac+c^2,b^2+bc+c^2[/TEX] lập thành 1 CSC khi và chỉ khi:
[TEX]a^2+2b^2+c^2+ab+bc=2(a^2+ac+c^2)<=>a^2+c^2+2ac-2b^2-b(a+c)=0<=>(a+c)^2-2b^2-b(a+c)=0[/TEX]
Thay [TEX]a+c=2b[/TEX] ta có: [TEX](2b)^2-2b^2-2b.b=0[/TEX] (đúng)
Vậy ta có đpcm.
Dạng 3: Tìm m để PT bậc 3 có 3 nghiệm tạo thành 1 CSC.
Tìm m để pt: [TEX]x^3+3x^2-6x+m=0[/TEX](1)
Giải: Với PT bậc 3, ta có hệ thức Vi-ét như sau: [tex]x_1+x_2+x_3=\frac{-b}{a}[/tex]
Vậy gọi 3 nghiệm của pt (1) là [TEX]x_1,x_2,x_3[/TEX], ta có: [TEX]x_1+x_2+x_3=-3[/TEX]
Điều kiện cần để 3 nghiệm tạo thành 1 CSC là: [TEX]x_1+x_3=2x_2[/TEX]
=>[TEX]3x_2=-3<=>x_2=-1[/TEX]
Điều kiện đủ: pt (1) phải có nghiệm x=-1 nên ta có: [TEX](-1)^3+3(-1)^2-6(-1)+m=0<=>m=-8[/TEX]
Với m=-8 ta có pt (1) trở thành : [TEX]x^3+3x^2-6x-8=0[/TEX] có 3 nghiệm là [TEX]x=-4,x=-1,x=2[/TEX] thỏa mãn tạo thành 1 csc.
Vậy m=-8 là điều kiện cần tìm.
Dạng 4: Tìm các số hạng của 1 CSC thỏa mãn điều kiện cho trước.
Tìm 4 số hạng đầu tiên của 1 CSC biết chúng có tổng là 4 và tổng các bình phương của chúng là 84.
Giải: Ta có thể gọi 4 số hạng đó là : [TEX]a,a+d,a+2d,a+3d[/TEX]d, khi đó ta có:
[tex]\left\{\begin{matrix} 4a+6d=4\\ a^2+(a+d)^2+(a+2d)^2+(a+3d)^2=84 \end{matrix}\right.[/tex]
Sau đó tính a theo d ở pt (1) rồi thế xuống pt (2) là ta có 1 pt bậc 2 để giải. Tuy nhiên có 1 cách đặt giúp ta giải quyết nhanh hơn: gọi 4 số hạng có dạng:[TEX]a-3d,a-d,a+d,a+3d[/TEX]
Như vậy ta có pt (1) lúc này là:4a=4<=>a=1
Và pt (2) lúc này là: [TEX](a-3d)^2+(a-d)^2+(a+d)^2+(a+3d)^2=84<=>4a^2+20d^2=84<=>d^2=4[/TEX]<=>d=2 hoặc d=-2
Do đó ta có dãy CSC thỏa mãn là: [TEX]-5,-1,3,7[/TEX].
** Trong trường hợp dãy CSC gồm 3 số hạng thì ta sẽ đặt : [TEX]a-d,a,a+d[/TEX]