Điều kiện xác định:$x\geq -2$
Ta có:$(x+2)^3-(x+6)^2=(x-2)(x^2+7x+14)$
$x^2+7x+14=(x+\frac{7}{2})^2+\frac{7}{4}>0$
-Nếu $x>2 =>(x+2)^3>(x+6)^2$ (1)
$<=>\sqrt{2+x}> \sqrt[3]{x+6}>2$
Áp dụng BĐT (1) khi thay $x$ bởi $\sqrt{x+2}$ ta được
$\sqrt{2+\sqrt{2+x}}>\sqrt[3]{6+\sqrt{x+2}}$
Do $\sqrt{x+2}> \sqrt[3]{6+x}$ có
$\sqrt[3]{6+\sqrt{x+2}}>\sqrt[3]{6+\sqrt[3]{x+6}}$
suy ra $\sqrt{2+\sqrt{x+2}}>\sqrt[3]{6+\sqrt[3]{x+6}}$ (2)
Áp dụng BĐT (2) khi thay $x$ bởi $\sqrt{x+2}$ được
$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+x}}}>\sqrt[3]{6+\sqrt[3]{6+\sqrt{x+2}}}$
Do $\sqrt{x+2}>\sqrt[3]{x+6}$ có
$\sqrt[3]{6+\sqrt[3]{6+\sqrt{x+2}}}>\sqrt[3]{6+\sqrt[3]{6+\sqrt[3]{6+x}}}$
suy ra $\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+x}}}>\sqrt[3]{6+\sqrt[3]{6+\sqrt[3]{6+x}}}$
Cứ làm tiếp tục như trên ta thấy $x>2$ thì VT>VP nên phương trình không có nghiệm
-Nếu $-2\leq x< 2$ thì $(x+2)^{3}< (x+6)^2$ $<=>\sqrt{2+x}<\sqrt[3]{x+6}<2$
làm tương tự có $VT< VP$ nên $-2\leq x< 2$ không có nghiệm
Nếu $x=2$ thì $VT=VP$ nên phương trình có nghiệm duy nhất $x=2$
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn