Cần giúp chứng minh bất đẳng thức

[blackmist]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cm các bất đẳng thức sau thỏa mãn [TEX]\forall x[/TEX] và [TEX]\forall y[/TEX]

a/ [TEX]x^2[/TEX]+xy+[TEX]y^2[/TEX]+1>0
b/ [TEX]x^2[/TEX]+5[TEX]y^2[/TEX]+2x-4xy-10y+14>0

 

[thuytien_meocon]

[TEX]x^2+xy+y^2+1[/TEX]
[TEX]=x^2+2.\frac{1}{2}xy+y^2+1[/TEX]
[TEX]=(x+\frac{1}{2}y)^2+\frac{3}{4}y^2+1>0\forall x,y[/TEX]

 

[nkoxsjeuway]

b)

+5

+2x-4xy-10y+14>0

C/minh
Đặt [TEX]x^2+5y^2+2x-4xy-10y+14[/TEX]=A
\Rightarrow A= [TEX]x^2+4y^2+y^2+2x-4xy-4y-6y+1+13[/TEX]
\Leftrightarrow A= [TEX]x^2+(2y)^2+1+2x-4xy-4y+y^2-6y+13[/TEX]
Áp dụng hằng đẳng thức mở rộng ta được
A= [TEX](x-2y+1)^2 +y^2- 2.y.3+ 3^2+4[/TEX]
\Rightarrow A= [TEX](x-2y+1)^2 +(y-3)^2+4[/TEX]
Ta có [TEX](x-2y+1)^2[/TEX] \geq0 \forallx,y
[TEX](y-3)^2[/TEX] \geq 0 \forally
\Rightarrow [TEX](x-2y+1)^2 +(y-3)^2[/Tex]\geq0 \forallx,y
tức là [TEX](x-2y+1)^2 +(y-3)^2+4[/TEX] > 0 \forallx,y
Vậy A>0 (dpcm)

 

[blackmist]

Mình chưa học bất đẳng thức mở rộng. Có cách khác đơn giản hơn không?