căn bậc hai số học

K

khaiproqn81

Giả sử $\sqrt{2}$ là số hữu tỷ. Như vậy $\sqrt{2}$ có thể biểu diễn dưới dạng phân số tối giản $\dfrac{m}{n}$, tức là $\sqrt{2}=\dfrac{m}{n}$. Suy ra $(\sqrt{2})^2=(\dfrac{m}{n})^2$ hay $2n^2=m^2 (1)$. Đẳng thức này chứng tỏ $m^2 \vdots 2$, mà $2$ là số nguyên tố nên $m \vdots 2$. Đặt $m=2k (K \in \mathbb{Z})$, ta có $m^2=4k^2$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $2n^2=4k^2$ nên $n^2=2k^2 (3)$. Từ $(3)$ ta lại có $n^2 \vdots 2$ mà $2$ là số nguyên tố nên $n \vdots 2$

$m$ và $n$ cùng chia hết cho $2$ nên phân số $\dfrac{m}{n}$ không tối giản, trái giả thiết.

Vậy $\sqrt{2}$ không là số hữu tỷ, do đó $\sqrt{2}$ là số vô tỷ

 
Last edited by a moderator:
S

sagacious

khaiproqn81 said:
Giả sử $\sqrt{2}$ là số hữu tỷ. Như vậy $\sqrt{2}$ có thể biểu diễn dưới dạng phân số tối giản $\dfrac{m}{n}$, tức là $\sqrt{2}=\dfrac{m}{n}$. Suy ra $(\sqrt{2})^2=(\dfrac{m}{n})^2$ hay $2n^2=m^2 (1)$. Đẳng thức này chứng tỏ $m^2 \vdots 2$, mà $2$ là số nguyên tố nên $m \vdots 2$. Đặt $m=2k (K \in \mathbb{Z})$, ta có $m^2=4k^2$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $2n^2=4k^2$ nên $n^2=2k^2 (3)$. Từ $(3)$ ta lại có $n^2 \vdots 2$ mà $2$ là số nguyên tố nên $n \vdots 2$

$m$ và $n$ cùng chia hết cho $2$ nên phân số $\dfrac{m}{n}$ không tối giản, trái giả thiết.

Vậy $\sqrt{2}$ không là số hữu tỷ, do đó $\sqrt{2}$ là số vô tỷ
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
số hữu tỉ đâu cần tối giản đâu bạn .
 
A

angleofdarkness

Cách khác ở Wiki:

10356707_1525027704385639_5797322680668026970_n.jpg
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom