Toán Căn bậc hai . Căn bậc ba(Nâng cao)

[Nguyễn Võ Văn Hùng]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Chứng minh Căn 7 là số vô tỉ.

2. a) Chứng minh: (ac + bd)2 + (ad – bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2)

b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki: (ac + bd)2 ≤ (a2 + b2)(c2 + d2)

3. Cho x + y = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S = x2 + y2.



4. Cho a, b > 0 và 3a + 5b = 12. Tìm giá trị lớn nhất của tích P = ab.

5. Cho a + b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : M = a3 + b3.

6. Cho a3 + b3 = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : N = a + b.

7. Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh: a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c)


9. a) Chứng minh bất đẳng thức (a + 1)2 ≥ 4a

b) Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Chứng minh: (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 8

10. Chứng minh các bất đẳng thức:

a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2) b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2)

 

[Nữ Thần Mặt Trăng]

1. Chứng minh Căn 7 là số vô tỉ.

2. a) Chứng minh: (ac + bd)2 + (ad – bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2)

b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki: (ac + bd)2 ≤ (a2 + b2)(c2 + d2)

3. Cho x + y = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S = x2 + y2.



4. Cho a, b > 0 và 3a + 5b = 12. Tìm giá trị lớn nhất của tích P = ab.

5. Cho a + b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : M = a3 + b3.

6. Cho a3 + b3 = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : N = a + b.

7. Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh: a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c)


9. a) Chứng minh bất đẳng thức (a + 1)2 ≥ 4a

b) Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Chứng minh: (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 8

10. Chứng minh các bất đẳng thức:

a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2) b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2)

1.
Giả sử $\sqrt 7$ không phải là số vô tỉ
Đặt $\sqrt 7=\dfrac ab$ với $a,b\in \mathbb{Z};b\ne 0;(a;b)=1$
$\Rightarrow a=b\sqrt 7$
$\Rightarrow a^2=7b \ \vdots \ 7$
$\Rightarrow a \ \vdots \ 7$
$\Rightarrow a^2 \ \vdots \ 49$
$\Rightarrow b \ \vdots \ 7$
=> vô lí => giả sử sai => đpcm
2.
a) $(ac+bd)^2+(ad-bc)^2$
$=a^2c^2+2abcd+b^2d^2+a^2d^2-2abcd+b^2c^2$
$=a^2c^2+b^2c^2+a^2d^2+b^2d^2$
$=c^2(a^2+b^2)+d^2(a^2+b^2)$
$=(a^2+b^2)(c^2+d^2)$ (đpcm)
b) $(ac+bd)^2\le (a^2+b^2)(c^2+d^2)$
$\Leftrightarrow a^2c^2+2abcd+b^2d^2\le a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2$
$\Leftrightarrow a^2d^2-2abcd+b^2c^2\ge 0$
$\Leftrightarrow (ad-bc)^2\ge 0$ (luôn đúng)
3. $x^2+y^2\ge \dfrac{(x+y)^2}2=2$
Dấu '=' xảy ra khi $x=y=1$
4. $3a+5b=12\Rightarrow a=4-\dfrac 53b$
$\Rightarrow ab=4b-\dfrac 53b^2=\dfrac{12}5-\dfrac 53(b-\dfrac 65)^2\le \dfrac{12}5$
Dấu '=' xảy ra khi $b=\dfrac 65\Rightarrow a=2$
5. $a+b=1\Rightarrow a=1-b$
$\Rightarrow a^3+b^3=(1-b)^3+b^3=3b^2-3b+1=3(b-\dfrac12)^2+\dfrac14\ge \dfrac14$
Dấu '=' xảy ra khi $b=\dfrac12\Rightarrow a=\dfrac12$
6. Tương tự.
7. Ta luôn có: $(a-b)^2\ge 0$
$\Leftrightarrow a^2-ab+b^2\ge ab$
$\Leftrightarrow (a+b)(a^2-ab+b^2)\ge ab(a+b)$
$\Leftrightarrow a^3+b^3\ge ab(a+b)$
$\Leftrightarrow a^3+b^3+abc\ge ab(a+b+c)$ (đpcm)
9.
a) $(a+1)^2\ge 4a\Leftrightarrow a^2+2a+1\ge 4a\Leftrightarrow a^2-2a+1\ge 0\Leftrightarrow (a-1)^2\ge 0$ (luôn đúng)
b) $(a+1)(b+1)(c+1)\ge 2\sqrt a.2\sqrt b.2\sqrt c=8\sqrt{abc}=8$ (AM-GM)
10.
a) $(a+b)^2\le 2(a^2+b^2)$
$\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\le 2a^2+2b^2$
$\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge 0$
$\Leftrightarrow (a-b)^2\ge 0$ (luôn đúng)
b) $(a+b+c)^2\le 3(a^2+b^2+c^2)$
$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\le 3(a^2+b^2+c^2)$
$\Leftrightarrow (a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ca+a^2)\ge 0$
$\Leftrightarrow (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\ge 0$ (luôn đúng)