Toán 9 Căn bậc ba

[Love You At First Sight]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho x,y,z>0. Chứng minh: [tex]\frac{x^2}{x^2+2yz}+\frac{y^2}{y^2+2zx}+\frac{z^2}{z^2+2xy}\geq 1[/tex]

 

[Sweetdream2202]

[tex]2xy\leq x^2+y^2=>\frac{x^2}{z^2+2xy}\geq \frac{x^2}{x^2+y^2+z^2}[/tex]
tương tự với các số hạn còn lại. cộng lại bạn được điều phải chứng minh

 

[Tps1#]

Mình sẽ làm vài cách cho bạn tham khảo nhé (rảnh tay :v)
C1 : Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz dạng Engel :
[tex]\frac{x^2}{x^2+2yz}+\frac{y^2}{y^2+2zx}+\frac{z^2}{z^2+2xy}\geq \frac{(x+y+z)^2}{x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+xz)}=1[/tex] (đpcm)
C2 : Áp dụng bđt Cauchy :
[tex]\left\{\begin{matrix}2xy\leq y^2+z^2 & \\ 2zx\leq z^2+x^2 & \\ 2xy\leq x^2+y^2 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\frac{x^2}{x^2+2yz}\geq \frac{x^2}{x^2+y^2+z^2} & \\ \frac{y^2}{y^2+2zx}\geq \frac{y^2}{x^2+y^2+z^2} & \\ \frac{z^2}{z^2+2xy}\geq \frac{z^2}{x^2+y^2+z^2} & \end{matrix}\right.[/tex]
Cộng theo vế, ta được đpcm