căn bâc 2

[mamy007]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1) cho x,y,z >0 . Thỏa mãn xy+yz+zx=1
tính [TEX]Q=x\sqrt{\frac{(1+y^2)(1+z^2)}{1+x^2}}[/TEX] + [TEX]y\sqrt{\frac{(1+z^2)(1+x^2)}{1+y^2}}[/TEX] + [TEX]z\sqrt{\frac{(1+x^2)(1+y^2)}{1+z^2}}[/TEX]
2) cho a,b,c >0 thỏa mãn
[TEX]a^2=b+3992[/TEX]và x,y,z >0
và [TEX]x+y+z=a ; x^2+z^2+y^2=b [/TEX]
tính : [ [TEX]Q=x\sqrt{\frac{(1996+y^2)(1996+z^2)}{1996+x^2}}[/TEX] + [TEX]y\sqrt{\frac{(1996+z^2)(1996+x^2)}{1996+y^2}}[/TEX] + [TEX]z\sqrt{\frac{(1996+x^2)(1996+y^2)}{1996+z^2}}[/TEX]
3) cho a,c,b đôi 1 khác nhau chứng minh
[TEX]A=\sqrt{\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}}[/TEX]
là số hữu tỉ

 

[vovavovan]

1) cho x,y,z >0 . Thỏa mãn xy+yz+zx=1
tính [TEX]Q=x\sqrt{\frac{(1+y^2)(1+z^2)}{1+x^2}}[/TEX] + [TEX]y\sqrt{\frac{(1+z^2)(1+x^2)}{1+y^2}}[/TEX] + [TEX]z\sqrt{\frac{(1+x^2)(1+y^2)}{1+z^2}}[/TEX]

1. Lấy đại diện: [TEX]1+y^2=xy+yz+xz+y^2=(y+x)(y+z)[/TEX]
Do đó: [TEX]x\sqrt{\frac{(1+y^2)(1+z^2)}{1+x^2}}=x\sqrt{\frac{(y+z)(y+x)(z+x)(z+y)}{(x+z)(x+y)}}=x\sqrt{(y+z)^2}=x(y+z)[/TEX]
Nên: [TEX]Q=x(y+z)+y(x+z)+z(x+y)=2(xy+yz+xz)=2[/TEX]

 

[vovavovan]

2) cho a,b,c >0 thỏa mãn
[TEX]a^2=b+3992[/TEX]và x,y,z >0
và [TEX]x+y+z=a ; x^2+z^2+y^2=b [/TEX]
tính : [ [TEX]Q=x\sqrt{\frac{(1996+y^2)(1996+z^2)}{1996+x^2}}[/TEX] + [TEX]y\sqrt{\frac{(1996+z^2)(1996+x^2)}{1996+y^2}}[/TEX] + [TEX]z\sqrt{\frac{(1996+x^2)(1996+y^2)}{1996+z^2}}[/TEX]

[TEX]a^2=b+3992[/TEX]và x,y,z >0
và [TEX]x+y+z=a ; x^2+z^2+y^2=b [/TEX]. Từ đó ta có:
[TEX](x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+3992 \Rightarrow xy+yz+xz=1996[/TEX]
Bài toán quay về bài 1: [TEX]Q=2(xy+yz+xz)=3992[/TEX]

 

[vovavovan]

3) cho a,c,b đôi 1 khác nhau chứng minh
[TEX]A=\sqrt{\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}}[/TEX]
là số hữu tỉ

Đặt [TEX]x=a-b, y=b-c,z=c-a \Rightarrow x+y+z=a-b+b-c+c-a=0[/TEX]
[TEX]A=\sqrt{\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}}[/TEX]
[TEX]A=\sqrt{\frac{y^2z^2+x^2y^2+z^2x^2}{x^2y^2z^2}}[/TEX]
[TEX]A=\sqrt{\frac{(xy+yz+xz)^2-2xy.yz-2yz.xz-2xy.xz}{x^2y^2z^2}}[/TEX]
[TEX]A=\sqrt{\frac{(xy+yz+xz)^2-2xyz(x+y+z)}{x^2y^2z^2}}[/TEX]
[TEX]A=A=\sqrt{\frac{(xy+yz+xz)^2}{x^2y^2z^2}}=\frac{xy+yz+xz}{xyz}[/TEX] là số hữu tỉ.