- 27 Tháng mười 2018
- 3,742
- 3,706
- 561
- Hà Nội
- Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
* Quy tắc "nhà giàu không cần đồng lẻ" : khi n-> oo, thì ta chỉ giữ lại số hạng có bậc lớn nhất, còn lại những thằng khác ném hết đi.
Ví dụ: [TEX]n^2+n[/TEX] thì chỉ giữ lại [TEX]n^2[/TEX]. Đơn giản thế này, ta có 1 triệu (n), ta thấy mình "hơi giàu" so với người đang chỉ có vài nghìn, nhưng 1 người khác có [TEX]n^2[/TEX], tức là 1000 tỷ. Ông này sẽ nhìn 1 triệu của ta không khác gì đống giấy bạc lẻ, không đáng đếm xỉa. Đó là lí do vì sao n bị quẳng đi so với [TEX]n^2[/TEX], nó quá bé!
* Nhận diện giới hạn vô định: Giới hạn vô định là giới hạn có dạng khi mà ta dùng quy tắc nhà giàu, nó về dạng oo-oo=0.
Ví dụ : [tex]lim \sqrt{n^2+2n}-\sqrt{n^2+n}=lim\sqrt{n^2}-lim\sqrt{n^2}=0[/tex]
Ấy thế gọi nó là vô định. Nhưng thế này thì không phải vô định này:
[tex]lim (\sqrt{4n^2+2n}-\sqrt{n^2+n})=lim (\sqrt{4n^2}-\sqrt{n^2})=limn[/tex]
Nó khác 0 nên không phải vô định.
Vậy gặp vô định thì khi đó ta phải dùng liên hợp, để khử bỏ phần vô định. Khi khử xong ta có thể dùng lại quy tắc nhà giàu để tính.
* Chú ý: quy tắc nhà giàu để làm trắc nghiệm, hoặc là kiểm nghiệm đáp án nhanh khi ta là tự luận. Chứ còn tự luận thì các bạn cứ phải đặt n bậc cao nhất ra ngoài, rồi áp dụng cái [tex]lim\frac{1}{n^k}=0[/tex] để tính. Vì đây là bộ bảo thế, mình phải theo. Bản thân mình thấy cách viết thế tốn thời gian và giấy mực mà không có ý nghĩa gì cả.
* Cách liên hợp: đôi khi ta có thể liên hợp ngay, còn không thì phải thêm bớt ( đặc biệt có các căn khác bậc thì phải thêm bớt ) . Quy tắc thêm bớt là cứ làm sao cho sau khi liên hợp, ta khử được thằng bậc cao nhất ở trong căn, là thành công. Các hằng đẳng thức phải nhớ để thêm bớt liên hợp:
[TEX]a^2-b^2=(a+b)(a-b)[/TEX]
[TEX]a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)[/TEX]
[TEX]a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)[/TEX]
* Bài ví dụ : Tính các giới hạn sau:
1. [tex]lim(\sqrt{n^2+n}-n)[/tex]
Giải: Đây là dạng vô đinh, và có căn bậc 2, nên phải liên hợp theo: [TEX]a^2-b^2[/TEX]
Ta thấy [TEX]a^2=n^2+n[/TEX], ta cần có [TEX]-n^2[/TEX] để triệt tiêu bậc cao nhất, vừa khớp với [TEX]-n[/TEX] đã có.
Vậy [tex]lim(\sqrt{n^2+n}-n)=lim\frac{n}{\sqrt{n^2+n}+n}=lim\frac{n}{n+n}=\frac{1}{2}[/tex]
2. [tex]lim(\sqrt{4n^2+2n+1}-\sqrt{4n^2+n})[/tex]
Giải: đây là dạng vô định, ta cần triệt tiêu [TEX]4n^2[/TEX] khi dùng liên hợp, do đó lượng b ta cần ở đây là [TEX]2n[/TEX]
Vậy: [tex]lim(\sqrt{4n^2+2n+1}-\sqrt{4n^2+n})=lim((\sqrt{4n^2+2n+1}-2n)-(\sqrt{4n^2+n}-2n))[/tex]
=[tex]lim(\frac{2n+1}{\sqrt{4n^2+2n+1}+2n}-\frac{n}{\sqrt{4n^2+n}+2n})=lim(\frac{2n}{\sqrt{4n^2}+2n}-\frac{n}{\sqrt{4n^2}+2n})=\frac{1}{4}[/tex]
3. [tex]lim(\sqrt{4n^2+n}-\sqrt[3]{8n^3+9n^2+9n+1})[/tex]
Giải: Ta thấy đây là dạng vô định : 2n-2n=0, cần thêm bớt để liên hợp. Ở căn đầu tiên ta cần triệt tiêu [TEX]4n^2[/TEX], nên lượng cần thêm bớt là [TEX]2n[/TEX], nó sẽ tự khớp với căn bậc 3 còn lại.
Vậy: [tex]lim((\sqrt{4n^2+n}-2n)-(\sqrt[3]{8n^3+9n^2+9n+1}-2n))=lim(\frac{n}{\sqrt{4n^2+n}+2n}-\frac{9n^2+9n+1}{\sqrt[3]{(8n^3+9n^2+9n+1)^2}+2n\sqrt[3]{(8n^3+9n^2+9n+1)^2}+4n^2})[/tex]
Đến đây biểu thức nhìn cồng kềnh nhất là ở mẫu của thằng căn bậc 3, ta dùng quy tắc nhà giàu thì nó tối giản nhanh, chỉ còn: [tex]\sqrt[3]{(8n^3)^2}+2n\sqrt[3]{8n^3}+4n^2=12n^2[/tex]
Vậy ta có kết quả cần tính bằng: [tex]lim(\frac{n}{\sqrt{4n^2}+2n}-\frac{9n^2}{12n^2})=\frac{-1}{2}[/tex]
Ví dụ: [TEX]n^2+n[/TEX] thì chỉ giữ lại [TEX]n^2[/TEX]. Đơn giản thế này, ta có 1 triệu (n), ta thấy mình "hơi giàu" so với người đang chỉ có vài nghìn, nhưng 1 người khác có [TEX]n^2[/TEX], tức là 1000 tỷ. Ông này sẽ nhìn 1 triệu của ta không khác gì đống giấy bạc lẻ, không đáng đếm xỉa. Đó là lí do vì sao n bị quẳng đi so với [TEX]n^2[/TEX], nó quá bé!
* Nhận diện giới hạn vô định: Giới hạn vô định là giới hạn có dạng khi mà ta dùng quy tắc nhà giàu, nó về dạng oo-oo=0.
Ví dụ : [tex]lim \sqrt{n^2+2n}-\sqrt{n^2+n}=lim\sqrt{n^2}-lim\sqrt{n^2}=0[/tex]
Ấy thế gọi nó là vô định. Nhưng thế này thì không phải vô định này:
[tex]lim (\sqrt{4n^2+2n}-\sqrt{n^2+n})=lim (\sqrt{4n^2}-\sqrt{n^2})=limn[/tex]
Nó khác 0 nên không phải vô định.
Vậy gặp vô định thì khi đó ta phải dùng liên hợp, để khử bỏ phần vô định. Khi khử xong ta có thể dùng lại quy tắc nhà giàu để tính.
* Chú ý: quy tắc nhà giàu để làm trắc nghiệm, hoặc là kiểm nghiệm đáp án nhanh khi ta là tự luận. Chứ còn tự luận thì các bạn cứ phải đặt n bậc cao nhất ra ngoài, rồi áp dụng cái [tex]lim\frac{1}{n^k}=0[/tex] để tính. Vì đây là bộ bảo thế, mình phải theo. Bản thân mình thấy cách viết thế tốn thời gian và giấy mực mà không có ý nghĩa gì cả.
* Cách liên hợp: đôi khi ta có thể liên hợp ngay, còn không thì phải thêm bớt ( đặc biệt có các căn khác bậc thì phải thêm bớt ) . Quy tắc thêm bớt là cứ làm sao cho sau khi liên hợp, ta khử được thằng bậc cao nhất ở trong căn, là thành công. Các hằng đẳng thức phải nhớ để thêm bớt liên hợp:
[TEX]a^2-b^2=(a+b)(a-b)[/TEX]
[TEX]a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)[/TEX]
[TEX]a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)[/TEX]
* Bài ví dụ : Tính các giới hạn sau:
1. [tex]lim(\sqrt{n^2+n}-n)[/tex]
Giải: Đây là dạng vô đinh, và có căn bậc 2, nên phải liên hợp theo: [TEX]a^2-b^2[/TEX]
Ta thấy [TEX]a^2=n^2+n[/TEX], ta cần có [TEX]-n^2[/TEX] để triệt tiêu bậc cao nhất, vừa khớp với [TEX]-n[/TEX] đã có.
Vậy [tex]lim(\sqrt{n^2+n}-n)=lim\frac{n}{\sqrt{n^2+n}+n}=lim\frac{n}{n+n}=\frac{1}{2}[/tex]
2. [tex]lim(\sqrt{4n^2+2n+1}-\sqrt{4n^2+n})[/tex]
Giải: đây là dạng vô định, ta cần triệt tiêu [TEX]4n^2[/TEX] khi dùng liên hợp, do đó lượng b ta cần ở đây là [TEX]2n[/TEX]
Vậy: [tex]lim(\sqrt{4n^2+2n+1}-\sqrt{4n^2+n})=lim((\sqrt{4n^2+2n+1}-2n)-(\sqrt{4n^2+n}-2n))[/tex]
=[tex]lim(\frac{2n+1}{\sqrt{4n^2+2n+1}+2n}-\frac{n}{\sqrt{4n^2+n}+2n})=lim(\frac{2n}{\sqrt{4n^2}+2n}-\frac{n}{\sqrt{4n^2}+2n})=\frac{1}{4}[/tex]
3. [tex]lim(\sqrt{4n^2+n}-\sqrt[3]{8n^3+9n^2+9n+1})[/tex]
Giải: Ta thấy đây là dạng vô định : 2n-2n=0, cần thêm bớt để liên hợp. Ở căn đầu tiên ta cần triệt tiêu [TEX]4n^2[/TEX], nên lượng cần thêm bớt là [TEX]2n[/TEX], nó sẽ tự khớp với căn bậc 3 còn lại.
Vậy: [tex]lim((\sqrt{4n^2+n}-2n)-(\sqrt[3]{8n^3+9n^2+9n+1}-2n))=lim(\frac{n}{\sqrt{4n^2+n}+2n}-\frac{9n^2+9n+1}{\sqrt[3]{(8n^3+9n^2+9n+1)^2}+2n\sqrt[3]{(8n^3+9n^2+9n+1)^2}+4n^2})[/tex]
Đến đây biểu thức nhìn cồng kềnh nhất là ở mẫu của thằng căn bậc 3, ta dùng quy tắc nhà giàu thì nó tối giản nhanh, chỉ còn: [tex]\sqrt[3]{(8n^3)^2}+2n\sqrt[3]{8n^3}+4n^2=12n^2[/tex]
Vậy ta có kết quả cần tính bằng: [tex]lim(\frac{n}{\sqrt{4n^2}+2n}-\frac{9n^2}{12n^2})=\frac{-1}{2}[/tex]
