[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
bài toán: Chứng minh:
[math]1^{2k+1}+2^{2k+1}+3^{2k+1}+...+n^{2k+1} {⁝} 1+2+3+...+n [/math] với mọi n, k nguyên dương
chứng minh:
bổ đề 1:
nếu tìm dược q nguyên dương bất kỳ sao cho
[math]a^{2q+1}+b^{2q+1} { ⁝ } a+b { (1)}[/math]với mọi a, b nguyên dương thì
[math]a^{2(q+1)+1}+b^{2(q+1)+1} { ⁝ } a+b[/math]với mọi a, b nguyên dương
chứng minh
[math]a^{2(q+1)+1}+b^{2(q+1)+1}[/math][math]=a^{2q+1+2}+b^{2q+1+2}[/math][math]=a^2a^{2q+1}+b^2b^{2q+1}+b^2a^{2q+1}-b^2a^{2q+1}[/math][math]=a^{2q+1}(a^2-b^2)+b^2(a^{2q+1}+b^{2q+1})[/math][math]=a^{2q+1}(a+b)(a-b)+b^2(a^{2q+1}+b^{2q+1}) { ⁝} a+b {(đpcm)}[/math]bổ đề 2:
[math]a^{2q+1}+b^{2q+1} { ⁝ } a+b { (1)}[/math]với mọi a, b, q nguyên dương
chứng minh:
với q=1 thì (1) luôn đúng với mọi a, b nguyên dương
theo bổ đề 1 thì (1) luôn đúng với q∈{2; 3; ...} với mọi a, b nguyên dương
vậy (1) luôn đúng với mọi a, b, q nguyên dương (đpcm)
bài toán chính:
theo bổ đề 2 thì:
[math]1^{2k+1}+n^{2k+1}{ ⁝ }n+1[/math][math]2^{2k+1}+{(n-1)}^{2k+1}{ ⁝ }n+1[/math][math]3^{2k+1}+{(n-2)}^{2k+1}{ ⁝ }n+1[/math][math]{...}[/math][math]n^{2k+1}+1^{2k+1}{ ⁝ }n+1[/math][math]\rArr 2(1^{2k+1}+2^{2k+1}+3^{2k+1}+...+n^{2k+1})\vdots n+1{;}[/math][math]1^{2k+1}+{(n-1)}^{2k+1}{ ⁝ }n[/math][math]2^{2k+1}+{(n-2)}^{2k+1}{ ⁝ }n[/math][math]3^{2k+1}+{(n-3)}^{2k+1}{ ⁝ }n[/math][math]{...}[/math][math]{(n-1)}^{2k+1}+1^{2k+1}{ ⁝ }n[/math]và
[math]2n^{2k+1} \vdots n[/math][math]\rArr 2(1^{2k+1}+2^{2k+1}+3^{2k+1}+...+n^{2k+1}) \vdots n[/math]\vdots n{;}[/math]
mà [math](n,n+1)=1 \rArr 1^{2k+1}+2^{2k+1}+3^{2k+1}+...+n^{2k+1} \vdots n(n+1)[/math]mà [math]1+2+3+...+n= \frac{n(n+1)}{2} \rArr 2(1+2+3+...+n)=n(n+1)[/math]vậy [math]2(1^{2k+1}+2^{2k+1}+3^{2k+1}+...+n^{2k+1}) \vdots 2(1+2+3+..+n)[/math][math]\rArr (1^{2k+1}+2^{2k+1}+3^{2k+1}+...+n^{2k+1}) \vdots (1+2+3+..+n) { (đpcm)}[/math]
[math]1^{2k+1}+2^{2k+1}+3^{2k+1}+...+n^{2k+1} {⁝} 1+2+3+...+n [/math] với mọi n, k nguyên dương
chứng minh:
bổ đề 1:
nếu tìm dược q nguyên dương bất kỳ sao cho
[math]a^{2q+1}+b^{2q+1} { ⁝ } a+b { (1)}[/math]với mọi a, b nguyên dương thì
[math]a^{2(q+1)+1}+b^{2(q+1)+1} { ⁝ } a+b[/math]với mọi a, b nguyên dương
chứng minh
[math]a^{2(q+1)+1}+b^{2(q+1)+1}[/math][math]=a^{2q+1+2}+b^{2q+1+2}[/math][math]=a^2a^{2q+1}+b^2b^{2q+1}+b^2a^{2q+1}-b^2a^{2q+1}[/math][math]=a^{2q+1}(a^2-b^2)+b^2(a^{2q+1}+b^{2q+1})[/math][math]=a^{2q+1}(a+b)(a-b)+b^2(a^{2q+1}+b^{2q+1}) { ⁝} a+b {(đpcm)}[/math]bổ đề 2:
[math]a^{2q+1}+b^{2q+1} { ⁝ } a+b { (1)}[/math]với mọi a, b, q nguyên dương
chứng minh:
với q=1 thì (1) luôn đúng với mọi a, b nguyên dương
theo bổ đề 1 thì (1) luôn đúng với q∈{2; 3; ...} với mọi a, b nguyên dương
vậy (1) luôn đúng với mọi a, b, q nguyên dương (đpcm)
bài toán chính:
theo bổ đề 2 thì:
[math]1^{2k+1}+n^{2k+1}{ ⁝ }n+1[/math][math]2^{2k+1}+{(n-1)}^{2k+1}{ ⁝ }n+1[/math][math]3^{2k+1}+{(n-2)}^{2k+1}{ ⁝ }n+1[/math][math]{...}[/math][math]n^{2k+1}+1^{2k+1}{ ⁝ }n+1[/math][math]\rArr 2(1^{2k+1}+2^{2k+1}+3^{2k+1}+...+n^{2k+1})\vdots n+1{;}[/math][math]1^{2k+1}+{(n-1)}^{2k+1}{ ⁝ }n[/math][math]2^{2k+1}+{(n-2)}^{2k+1}{ ⁝ }n[/math][math]3^{2k+1}+{(n-3)}^{2k+1}{ ⁝ }n[/math][math]{...}[/math][math]{(n-1)}^{2k+1}+1^{2k+1}{ ⁝ }n[/math]và
[math]2n^{2k+1} \vdots n[/math][math]\rArr 2(1^{2k+1}+2^{2k+1}+3^{2k+1}+...+n^{2k+1}) \vdots n[/math]\vdots n{;}[/math]
mà [math](n,n+1)=1 \rArr 1^{2k+1}+2^{2k+1}+3^{2k+1}+...+n^{2k+1} \vdots n(n+1)[/math]mà [math]1+2+3+...+n= \frac{n(n+1)}{2} \rArr 2(1+2+3+...+n)=n(n+1)[/math]vậy [math]2(1^{2k+1}+2^{2k+1}+3^{2k+1}+...+n^{2k+1}) \vdots 2(1+2+3+..+n)[/math][math]\rArr (1^{2k+1}+2^{2k+1}+3^{2k+1}+...+n^{2k+1}) \vdots (1+2+3+..+n) { (đpcm)}[/math]