Các pro ơi, giúp mình bài tích phân này với

[haink]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

[TEX]I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{{\rm{cos}}2x}}{{1 + {{\sin }^2}x}}dx}[/TEX]

 

[vivietnam]

[TEX]I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{{\rm{cos}}2x}}{{1 + {{\sin }^2}x}}dx}[/TEX]

[TEX]=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{3-2(1+sin^2x)}{1+sin^2x}dx[/TEX]

[TEX]=\int_0^{\frac{\pi}{2}}(\frac{3}{2-cos^2x}-2)dx[/TEX]

[TEX]=-\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{3}{2\sqrt{2}}.(\frac{1}{cosx-\sqrt{2}}-\frac{1}{cosx+\sqrt{2}})dx-2x|_0^{\frac{\pi}{2}}[/TEX]

đến đây ta chỉ cần giải tích phân dạng
[TEX]\int \frac{1}{cosx+a}dx[/TEX]
TQ: đặt [TEX]tan\frac{x}{2}=t[/TEX]

 

[haink]

Cảm ơn bạn nhiều lắm. Nhưng cụ thể đối với 2 tích phân ở bước này, sau khi đổi biến [TEX]t=\tan \frac{x}{2}[/TEX] sẽ đưa về tích phân này [TEX]\int\limits_0^1 {\frac{{dt}}{{\left( {\sqrt 2 - 1} \right){t^2} + \sqrt 2 + 1}}}[/TEX] . Đây cũng là tích phân có dạng quen thuộc [TEX]\int\limits_a^b {\frac{{du}}{{{u^2} + {k^2}}}}[/TEX], nhưng với cận như bài trên thì mình thấy khó khăn quá, mong bạn giải thêm đoạn sau nữa nhé, thanks!
@:ko hiểu bạn muốn nói ji
[TEX]\int_a^b\frac{du}{u^2+k^2}=arctan\frac{u}{k}|_a^b[/TEX]

 

[glo0my_2512]

Cảm ơn bạn nhiều lắm. Nhưng cụ thể đối với 2 tích phân ở bước này, sau khi đổi biến [TEX]t=\tan \frac{x}{2}[/TEX] sẽ đưa về tích phân này [TEX]\int\limits_0^1 {\frac{{dt}}{{\left( {\sqrt 2 - 1} \right){t^2} + \sqrt 2 + 1}}}[/TEX] . Đây cũng là tích phân có dạng quen thuộc [TEX]\int\limits_a^b {\frac{{du}}{{{u^2} + {k^2}}}}[/TEX], nhưng với cận như bài trên thì mình thấy khó khăn quá, mong bạn giải thêm đoạn sau nữa nhé, thanks!
@:ko hiểu bạn muốn nói ji
[TEX]\int_a^b\frac{du}{u^2+k^2}=arctan\frac{u}{k}|_a^b[/TEX]

Chương trình giáo dục phổ thông Việt NAm hiện nay đâu có cho dùng hàm [TEX]arc[/TEX] đâu bạn!

 

[haink]

Cảm ơn bạn đã nhiệt tình giúp mình nha. Vì khi mình đổi cận gặp acrtan nên thấy ...sợ , mình muốn hỏi bạn có cách nào không vướng arctan không í mà. Bài này cho cận như vậy nên đành phải chịu kết quả có arctan thôi bạn nhỉ.

 

[haink]

Chương trình giáo dục phổ thông Việt NAm hiện nay đâu có cho dùng hàm [TEX]arc[/TEX] đâu bạn!

Đúng là SGK Toán THPT hiện hành không đưa vào nguyên hàm [TEX]\int {\frac{{dx}}{{{x^2} + {k^2}}} = \arctan \frac{x}{k} + C}[/TEX], nhưng ở năm lớp 11 bài Hàm số lượng giác có nhắc đến khái niệm arc (như arcsin, arccos, arctan,...), từ đó ta cũng sẽ biết khái niệm đó để đổi cận. VD: tant = 5, suy ra t = arctan5; sint=2/3, suy ra t = arcsin(2/3). Thật ra nó cũng là các số thực thôi mà.

 

[kimxakiem2507]

[TEX]I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{{\rm{cos}}2x}}{{1 + {{\sin }^2}x}}dx}[/TEX]

[TEX]*[/TEX] Cách tính theo giới hạn không đụng đến,[TEX]arctg[/TEX] nếu ngại thì không xài luôn nhưng có nhiều bài phải cho cận thích hợp nếu không thì không ai cho đâu tụi em đừng lo làm gì cho mệt.Làm theo hướng vivietnam luôn cho dễ.Dựa vào cách giải này chế ra cách khác ngắn hơn nhưng không tự nhiên lắm

[TEX]I= \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{2cos^2-1}{2-cos^2x}dx= \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}}[\frac{3}{2-cos^2x}-2]dx=3J-\pi[/TEX][TEX],\ \ J=\frac{1}{2\sqrt2} \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}}[\frac{1}{\sqrt2+cosx}+\frac{1}{\sqrt2-cosx}]dx[/TEX]

[TEX]t=tg\frac{x}{2}\Rightarrow{dx=\frac{2}{1+t^2}dt[/TEX]

[TEX]J=\frac{1}{\sqrt2} \int\limits_0^{1}[\frac{1}{(\sqrt2-1)t^2+\sqrt2+1}+\frac{1}{(\sqrt2+1)t^2+\sqrt2-1}]dt\Leftrightarrow{\sqrt2J= \int\limits_0^{1}\frac{\sqrt2+1}{t^2+(\sqrt2+1)^2}dt+\int_0^{ 1} \frac{\sqrt2-1}{t^2+(\sqrt2-1)^2}dt=J_1+J_2[/TEX]

[TEX]J_1\ :\ t=(\sqrt2+1)tgx\Rightarrow{J_1=x\|_0^{a}=a\ \ \ (tga=\sqrt2-1\ ,a\in{(0,\frac{\pi}{2}))[/TEX]

[TEX] J_2\ :\ t=(\sqrt2-1)tgx\Rightarrow{J_2=x\|_0^{b}=b\ \ \ (tgb=\sqrt2+1\ ,b\in{(0,\frac{\pi}{2}))[/TEX]

[TEX]\left{tga.tgb=1\\a,b\in{(0,\frac{\pi}{2}})[/TEX][TEX]\ \ \ \Leftrightarrow{a+b=\frac{\pi}{2}[/TEX][TEX]\Rightarrow{J=\frac{\pi}{2\sqrt2}[/TEX][TEX]\Rightarrow{I=\frac{3\sqrt2-4}{4}\pi[/TEX]

[TEX]*[/TEX] Tích phân mà em xài [TEX]tgt=5\Rightarrow{t=arctg5 [/TEX] là SAI nha em,em thử nghĩ xem sai ỡ chỗ nào?

[TEX]*[/TEX] Có máy tính thì bấm sẽ tìm được [TEX]a,b[/TEX] nhưng nên nhớ thao tác trên áp dụng cho những bài bấm máy ra lẻ

 

[haink]

[TEX]*[/TEX] Cách tính theo giới hạn không đụng đến,[TEX]arctg[/TEX] nếu ngại thì không xài luôn nhưng có nhiều bài phải cho cận thích hợp nếu không thì không ai cho đâu tụi em đừng lo làm gì cho mệt.Làm theo hướng vivietnam luôn cho dễ.Dựa vào cách giải này chế ra cách khác ngắn hơn nhưng không tự nhiên lắm

[TEX]I= \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{2cos^2-1}{2-cos^2x}dx= \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}}[\frac{3}{2-cos^2x}-2]dx=3J-\pi[/TEX][TEX],\ \ J=\frac{1}{2\sqrt2} \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}}[\frac{1}{\sqrt2+cosx}+\frac{1}{\sqrt2-cosx}]dx[/TEX]

[TEX]t=tg\frac{x}{2}\Rightarrow{dx=\frac{2}{1+t^2}dt[/TEX]

[TEX]J=\frac{1}{\sqrt2} \int\limits_0^{1}[\frac{1}{(\sqrt2-1)t^2+\sqrt2+1}+\frac{1}{(\sqrt2+1)t^2+\sqrt2-1}]dt\Leftrightarrow{\sqrt2J= \int\limits_0^{1}\frac{\sqrt2+1}{t^2+(\sqrt2+1)^2}dt+\int_0^{ 1} \frac{\sqrt2-1}{t^2+(\sqrt2-1)^2}dt=J_1+J_2[/TEX]

[TEX]J_1\:\ t=(\sqrt2+1)tgx\Rightarrow{J_1=x\|_0^{a}=a\ \ \ (tga=\sqrt2-1\ ,a\in{(0,\frac{\pi}{2}))[/TEX]

[TEX]J_2\:\ t=(\sqrt2-1)tgx\Rightarrow{J_2=x\|_0^{b}=b\ \ \ (tgb=\sqrt2+1\ ,b\in{(0,\frac{\pi}{2}))[/TEX]

[TEX]\left{tga.tgb=1\\a,b\in{(0,\frac{\pi}{2}})[/TEX][TEX]\ \ \ \Leftrightarrow{a+b=\frac{\pi}{2}[/TEX][TEX]\Rightarrow{J=\frac{\pi}{2\sqrt2}[/TEX][TEX]\Rightarrow{I=\frac{3\sqrt2-4}{4}\pi[/TEX]

[TEX]*[/TEX] Tích phân mà em xài [TEX]tgt=5\Rightarrow{t=arctg5 [/TEX] là SAI nha em,em thử nghĩ xem sai ỡ chỗ nào?

[TEX]*[/TEX] Có máy tính thì bấm sẽ tìm được [TEX]a,b[/TEX] nhưng nên nhớ thao tác trên áp dụng cho những bài bấm máy ra lẻ

Cảm ơn anh nhiều. Cách xử lý này hay quá, nhưng đúng là thiếu tự nhiên một xíu
Còn em VD tant = 5, suy ra t = arctan5 chỉ là em nói ngắn gọn thôi ạ, chứ thật ra phải là:
[TEX]\tan t = a \Leftrightarrow t = \arctan a + k\pi \,\left( {k \in Z,\,a \in R} \right)[/TEX]
[TEX]\sin t = a \wedge \left| a \right| \le 1 \Leftrightarrow t = \arcsin a + k2\pi \vee t = \pi - \arcsin a + k2\pi ,\left( {k \in Z,\left| a \right| \le 1} \right)[/TEX]
Anh nói em sai là chỗ đó đúng ko ạ?

kimxakiem2507:
[TEX]*[/TEX]Cách giải đó là rất tự nhiên không cần suy nghĩ nhiều còn cách thiếu tự nhiên dựa trên cách giải đó anh đâu có giải đâu em!

[TEX]*[/TEX] Đối với nguyên hàm thì em viết [TEX]arctgx[/TEX] thì đúng vì cái [TEX]k\pi[/TEX] đằng sau chỉ là hằng số nên sẽ nhập chung được với [TEX]C[/TEX]

Riêng với tích phân thì sai ngay tại chỗ.anh ví dụ [TEX]x\|_0^{arctg1}=\frac{\pi}{4}+k\pi[/TEX] là [TEX]SAI[/TEX] bởi vì kết quả chính xác của nó chỉ là [TEX]x\|_0^{\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}[/TEX]

Do đó khi em viết [TEX]arctg5[/TEX] thì phải kèm theo [TEX]arctg5 \in{((0,\frac{\pi}{2})[/TEX] thì mới đúng

Để đơn giản khi đổi cận thì cái góc đó em cứ đặt là [TEX]a[/TEX] đi với [TEX]tga=5[/TEX] và [TEX]a\in{((0,\frac{\pi}{2})[/TEX]

Em cố găng học cho tốt nhé!

 

[glo0my_2512]

Đúng là SGK Toán THPT hiện hành không đưa vào nguyên hàm [TEX]\int {\frac{{dx}}{{{x^2} + {k^2}}} = \arctan \frac{x}{k} + C}[/TEX], nhưng ở năm lớp 11 bài Hàm số lượng giác có nhắc đến khái niệm arc (như arcsin, arccos, arctan,...), từ đó ta cũng sẽ biết khái niệm đó để đổi cận. VD: tant = 5, suy ra t = arctan5; sint=2/3, suy ra t = arcsin(2/3). Thật ra nó cũng là các số thực thôi mà.

Ý mình là chương trình của bộ không cho dùng trực tiếp hàm arc nữa í mà! vs dạng tích phân bất định \int_{}^{}[TEX]\fra {dx}{x^2+k^2[/TEX] thì cách giải mà người ta đưa ra là đặt t = k.tanx, thực ra thì cái này có cùng bản chất vs hàm arc thôi! Làm cho dài, mình học cho mệt thôi! Nếu các bạn đọc sách tham khảo của Lê Hồng Đức hay của Phạm Quang Khải bạn sẽ bắt gặp cả 2 cách này!