B
bboy114crew
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Các phương pháp thường dùng để giải phương trình chứa dấu căn.
Phương trình đại số là một vấn đề rất quan trọng trong chương trình toán phổ thông , là một trong những nội dung thường gặp trong các đề kiểm tra toán , thi tuyển sinh vào lớp 10, thi tuyển sinh vào đại học , thi chọn HSG toán THCS và THPT.
Phương pháp 1:
Đưa về phương trình cơ bản.
[TEX]\sqrt{A}=\sqrt{B};\sqrt{A}=B[/TEX]
Lưu ý:
* [TEX]\sqrt{A} = \sqrt{B} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}A \geq 0\\A=B\end{array}\right [/TEX]
* [TEX]\sqrt{A}=B \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}B \geq 0\\A=B^2\end{array}\right [/TEX]
Ví dụ 1:Giải các phương trình sau:
a)[TEX]\sqrt{3x-1}-\sqrt{x+7}=0[/TEX]
b)[TEX]\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x^2+8}}=\frac{1}{3}[/TEX]
Lời giải:
a)[TEX]\sqrt{3x-1}-\sqrt{x+7}=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x+7 \geq 0\\3x-1=x+7\end{array}\right \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x \geq -7\\2x=8\end{array}\right \Leftrightarrow x=4 [/TEX]
b)[TEX]\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x^2+8}}=\frac{1}{3} \Leftrightarrow \sqrt{x^2+8}=3\sqrt{x} \Leftrightarrow \sqrt{x^2+8}=\sqrt{9x} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x^2+8 \geq 0\\x^2+8=9x\end{array}\right \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x \in R\\x^2-9x+8=0\end{array}\right \Leftrightarrow x=1 or x=8[/TEX]
Ví dụ 2:Giải các phương trình sau:
a)[TEX]\sqrt{2x+7}-x=6[/TEX]
b)[TEX]\sqrt{x+7}-5=-x[/TEX]
Lời giải:
a)[TEX]\sqrt{2x+7}-x=6 \Leftrightarrow \sqrt{2x+7} = x+6 \Leftrightarrow [ \left\{\begin{array}{l}x+6 \geq 0\\2x+27=(x+6)^2\end{array}\right \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x \geq -6\\x^2+10x+9=0\end{array}\right \Leftrightarrow x=-1[/TEX]
b)[TEX]\sqrt{x+7}-5=-x \Leftrightarrow \sqrt{x+7}=5-x \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}5-x \geq 0\\x+7=(5-x)^2\end{array}\right \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x \geq 5\\x^2-11x+18=0\end{array}\right \Leftrightarrow x=2[/TEX]
Bài tập:
1)[TEX]\sqrt{x^2-4x+3}=4x-x^2[/TEX]
2)[TEX]\sqrt{7x^2+8x+10}-\sqrt{x^2-8x+10}=2x[/TEX]
Phương pháp 2:
NÂNG LÊN LUỸ THỪA .
Ví dụ 3: Giải phương trình:
[TEX]\sqrt{2x-1}-2\sqrt{x-1}=-1[/TEX]
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 phổ thông năng khiếu - Đại học Quốc gia , TP Hồ Chí Minh.2008-2009)
Lời giải :
ĐKXD: [TEX]x \geq 1[/TEX]
Ta có:
[TEX]\sqrt{2x-1}-2\sqrt{x-1}=-1 \Leftrightarrow (\sqrt{2x-1}+1)^2=(2\sqrt{x-1})^2 \Leftrightarrow 2x-1 + 2\sqrt{x-1}+1=4(x-1) \Leftrightarrow 2\sqrt{x-1} = 2x-4 \Leftrightarrow \sqrt{2x-1}=x-2 \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x-2 \geq 0\\2x-1 = (x-2)^2\end{array}\right \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x \geq 2\\x^2-6x+5=0 \end{array}\right \Leftrightarrow x=5[/TEX]
Ví dụ 4:Giải phương trình:
[TEX]\sqrt{x+2}-\sqrt{2x-3}=\sqrt{3x-5}[/TEX]
Lời giải:
Ta có:
[TEX]\sqrt{x+2}-\sqrt{2x-3}=\sqrt{3x-5}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \sqrt{x+2}=\sqrt{3x-5}+\sqrt{2x-3}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow x+2=(\sqrt{3x-5}+\sqrt{2x-3})^2[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow x+2=3x-5+ 2\sqrt{(3x-5)(2x-3}+2x-3[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow -4x+10 = 2\sqrt{(3x-5)(2x-3}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}-2x+5 \geq 0\\(3x-5)(2x-3)=(-2x+5)^2\end{array}\right [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x \leq \frac{5}{2}\\2x^2+x-10=0(*)\end{array}\right[/TEX]
Giả phương trình (*) ta được:
[TEX]x_1=2;x_2=\frac{-5}{2}[/TEX]
Ví dụ 5:Giải phương trình:
[TEX]\sqrt{x+1}+\sqrt{2x+3}=\sqrt{3x}+\sqrt{2x-2}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \sqrt{2x+3}-\sqrt{2x-2}=\sqrt{3x}-\sqrt{x+1}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow (\sqrt{2x+3}-\sqrt{2x-2})^2=(\sqrt{3x}-\sqrt{x+1})^2[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \sqrt{(2x+3)(2x-2)}=\sqrt{(x+1)3x}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow x^2-x-6=0[/TEX]
[TEX]\Rightarrow x=-2 or x=3[/TEX]
thử lại thấy x=3 là nghiệm!
Phương pháp 3:
ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI .
Ví dụ 6:Giải phương trình:
[TEX]\sqrt{x+3+4\sqrt{x-1}}+\sqrt{x+8-6\sqrt{x-1}}[/TEX]
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10, trương THPT chuyên Lê Hồng Phong.2002-2003)
Lời giải :
ĐKXD: [TEX]x \geq 1[/TEX]
Ta có:[TEX]\sqrt{x+3+4\sqrt{x-1}}+\sqrt{x+8-6\sqrt{x-1}}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \sqrt{(\sqrt{x-1}+2)^2}+ \sqrt{(\sqrt{x-1}-3}=5[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \sqrt{x-1}+2 + |\sqrt{x-1}-3|=5[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow |\sqrt{x-1}-3|= 3 - \sqrt{x-1}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \sqrt{x-1}-3 \leq 0 \Leftrightarrow \sqrt{x-1} \leq 3[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 1\ leq x \leq 10[/TEX]
Ví dụ 4:
[TEX]\sqrt{x+2+3\sqrt{2x-5}}+\sqrt{x-2-\sqrt{2x-5}}=2\sqrt{2}[/TEX]
(Đề thi HSG tỉnh Tiêng Giang.2008-2009)
Lời giải:
[TEX]\sqrt{x+2+3\sqrt{2x-5}}+\sqrt{x-2-\sqrt{2x-5}}=2\sqrt{2}[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow \sqrt{2x+4+6\sqrt{2x-5}}+\sqrt{2x-4-2\sqrt{2x-5}}=4[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \sqrt{(\sqrt{2x-5}-3)^2}+\sqrt{(\sqrt{2x-5}-1)^2}=4[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \sqrt{2x-5}+3+|\sqrt{2x-5}-1|=4[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow |\sqrt{2x-5}-1| = 1- \sqrt{2x-5}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \sqrt{2x-5}-1 \leq 1[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \sqrt{2x-5} \leq 1[/TEX]
[TEX]\frac{5}{2} \leq x \leq 3[/TEX]
Phương pháp 4:
ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH.
Ví dụ 8:Giải phương trình:
[TEX](2x+7)\sqrt{2x+7}=x^2+9x+7[/TEX]
(Đề tuyển sinh vào lớp 10 chuyên ĐHKHTN -ĐHQG Hà Nội,2008-2009)
Lời giải :
ĐKXD:[TEX]x \geq \frac{-7}{2}[/TEX]
Ta có:
[TEX](2x+7)\sqrt{2x+7}=x^2+9x+7[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 2x+7 -(2x+7)\sqrt{2x+7}+x(x+7)=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (\sqrt{2x+7}-x)(\sqrt{2x+7}-x-7)=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \sqrt{2x+7}-x=0[/TEX]
hoặc [TEX]\sqrt{2x+7}-x-7=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow x=1+2\sqrt{2}[/TEX]
Ví dụ 9:Giải phương trình:
[TEX]2x\sqrt{x+2]+15=10x+3\sqrt{x+2}[/TEX]
Lời giải :
Ta có:
[TEX]2x\sqrt{x+2]+15=10x+3\sqrt{x+2}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 2x\sqrt{x+2}-10x-3\sqrt{x+2}+15=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (\sqrt{x+2}-5)(2x-3)=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \sqrt{x+2}-5=0[/TEX]
hoặc [TEX] 2x-3=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow x=23;x=\frac{3}{2}[/TEX]
p\s: còn 4 phương pháp nữa!
Phương trình đại số là một vấn đề rất quan trọng trong chương trình toán phổ thông , là một trong những nội dung thường gặp trong các đề kiểm tra toán , thi tuyển sinh vào lớp 10, thi tuyển sinh vào đại học , thi chọn HSG toán THCS và THPT.
Phương pháp 1:
Đưa về phương trình cơ bản.
[TEX]\sqrt{A}=\sqrt{B};\sqrt{A}=B[/TEX]
Lưu ý:
* [TEX]\sqrt{A} = \sqrt{B} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}A \geq 0\\A=B\end{array}\right [/TEX]
* [TEX]\sqrt{A}=B \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}B \geq 0\\A=B^2\end{array}\right [/TEX]
Ví dụ 1:Giải các phương trình sau:
a)[TEX]\sqrt{3x-1}-\sqrt{x+7}=0[/TEX]
b)[TEX]\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x^2+8}}=\frac{1}{3}[/TEX]
Lời giải:
a)[TEX]\sqrt{3x-1}-\sqrt{x+7}=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x+7 \geq 0\\3x-1=x+7\end{array}\right \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x \geq -7\\2x=8\end{array}\right \Leftrightarrow x=4 [/TEX]
b)[TEX]\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x^2+8}}=\frac{1}{3} \Leftrightarrow \sqrt{x^2+8}=3\sqrt{x} \Leftrightarrow \sqrt{x^2+8}=\sqrt{9x} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x^2+8 \geq 0\\x^2+8=9x\end{array}\right \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x \in R\\x^2-9x+8=0\end{array}\right \Leftrightarrow x=1 or x=8[/TEX]
Ví dụ 2:Giải các phương trình sau:
a)[TEX]\sqrt{2x+7}-x=6[/TEX]
b)[TEX]\sqrt{x+7}-5=-x[/TEX]
Lời giải:
a)[TEX]\sqrt{2x+7}-x=6 \Leftrightarrow \sqrt{2x+7} = x+6 \Leftrightarrow [ \left\{\begin{array}{l}x+6 \geq 0\\2x+27=(x+6)^2\end{array}\right \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x \geq -6\\x^2+10x+9=0\end{array}\right \Leftrightarrow x=-1[/TEX]
b)[TEX]\sqrt{x+7}-5=-x \Leftrightarrow \sqrt{x+7}=5-x \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}5-x \geq 0\\x+7=(5-x)^2\end{array}\right \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x \geq 5\\x^2-11x+18=0\end{array}\right \Leftrightarrow x=2[/TEX]
Bài tập:
1)[TEX]\sqrt{x^2-4x+3}=4x-x^2[/TEX]
2)[TEX]\sqrt{7x^2+8x+10}-\sqrt{x^2-8x+10}=2x[/TEX]
Phương pháp 2:
NÂNG LÊN LUỸ THỪA .
Ví dụ 3: Giải phương trình:
[TEX]\sqrt{2x-1}-2\sqrt{x-1}=-1[/TEX]
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 phổ thông năng khiếu - Đại học Quốc gia , TP Hồ Chí Minh.2008-2009)
Lời giải :
ĐKXD: [TEX]x \geq 1[/TEX]
Ta có:
[TEX]\sqrt{2x-1}-2\sqrt{x-1}=-1 \Leftrightarrow (\sqrt{2x-1}+1)^2=(2\sqrt{x-1})^2 \Leftrightarrow 2x-1 + 2\sqrt{x-1}+1=4(x-1) \Leftrightarrow 2\sqrt{x-1} = 2x-4 \Leftrightarrow \sqrt{2x-1}=x-2 \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x-2 \geq 0\\2x-1 = (x-2)^2\end{array}\right \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x \geq 2\\x^2-6x+5=0 \end{array}\right \Leftrightarrow x=5[/TEX]
Ví dụ 4:Giải phương trình:
[TEX]\sqrt{x+2}-\sqrt{2x-3}=\sqrt{3x-5}[/TEX]
Lời giải:
Ta có:
[TEX]\sqrt{x+2}-\sqrt{2x-3}=\sqrt{3x-5}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \sqrt{x+2}=\sqrt{3x-5}+\sqrt{2x-3}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow x+2=(\sqrt{3x-5}+\sqrt{2x-3})^2[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow x+2=3x-5+ 2\sqrt{(3x-5)(2x-3}+2x-3[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow -4x+10 = 2\sqrt{(3x-5)(2x-3}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}-2x+5 \geq 0\\(3x-5)(2x-3)=(-2x+5)^2\end{array}\right [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x \leq \frac{5}{2}\\2x^2+x-10=0(*)\end{array}\right[/TEX]
Giả phương trình (*) ta được:
[TEX]x_1=2;x_2=\frac{-5}{2}[/TEX]
Ví dụ 5:Giải phương trình:
[TEX]\sqrt{x+1}+\sqrt{2x+3}=\sqrt{3x}+\sqrt{2x-2}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \sqrt{2x+3}-\sqrt{2x-2}=\sqrt{3x}-\sqrt{x+1}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow (\sqrt{2x+3}-\sqrt{2x-2})^2=(\sqrt{3x}-\sqrt{x+1})^2[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \sqrt{(2x+3)(2x-2)}=\sqrt{(x+1)3x}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow x^2-x-6=0[/TEX]
[TEX]\Rightarrow x=-2 or x=3[/TEX]
thử lại thấy x=3 là nghiệm!
Phương pháp 3:
ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI .
Ví dụ 6:Giải phương trình:
[TEX]\sqrt{x+3+4\sqrt{x-1}}+\sqrt{x+8-6\sqrt{x-1}}[/TEX]
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10, trương THPT chuyên Lê Hồng Phong.2002-2003)
Lời giải :
ĐKXD: [TEX]x \geq 1[/TEX]
Ta có:[TEX]\sqrt{x+3+4\sqrt{x-1}}+\sqrt{x+8-6\sqrt{x-1}}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \sqrt{(\sqrt{x-1}+2)^2}+ \sqrt{(\sqrt{x-1}-3}=5[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \sqrt{x-1}+2 + |\sqrt{x-1}-3|=5[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow |\sqrt{x-1}-3|= 3 - \sqrt{x-1}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \sqrt{x-1}-3 \leq 0 \Leftrightarrow \sqrt{x-1} \leq 3[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 1\ leq x \leq 10[/TEX]
Ví dụ 4:
[TEX]\sqrt{x+2+3\sqrt{2x-5}}+\sqrt{x-2-\sqrt{2x-5}}=2\sqrt{2}[/TEX]
(Đề thi HSG tỉnh Tiêng Giang.2008-2009)
Lời giải:
[TEX]\sqrt{x+2+3\sqrt{2x-5}}+\sqrt{x-2-\sqrt{2x-5}}=2\sqrt{2}[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow \sqrt{2x+4+6\sqrt{2x-5}}+\sqrt{2x-4-2\sqrt{2x-5}}=4[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \sqrt{(\sqrt{2x-5}-3)^2}+\sqrt{(\sqrt{2x-5}-1)^2}=4[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \sqrt{2x-5}+3+|\sqrt{2x-5}-1|=4[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow |\sqrt{2x-5}-1| = 1- \sqrt{2x-5}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \sqrt{2x-5}-1 \leq 1[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \sqrt{2x-5} \leq 1[/TEX]
[TEX]\frac{5}{2} \leq x \leq 3[/TEX]
Phương pháp 4:
ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH.
Ví dụ 8:Giải phương trình:
[TEX](2x+7)\sqrt{2x+7}=x^2+9x+7[/TEX]
(Đề tuyển sinh vào lớp 10 chuyên ĐHKHTN -ĐHQG Hà Nội,2008-2009)
Lời giải :
ĐKXD:[TEX]x \geq \frac{-7}{2}[/TEX]
Ta có:
[TEX](2x+7)\sqrt{2x+7}=x^2+9x+7[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 2x+7 -(2x+7)\sqrt{2x+7}+x(x+7)=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (\sqrt{2x+7}-x)(\sqrt{2x+7}-x-7)=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \sqrt{2x+7}-x=0[/TEX]
hoặc [TEX]\sqrt{2x+7}-x-7=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow x=1+2\sqrt{2}[/TEX]
Ví dụ 9:Giải phương trình:
[TEX]2x\sqrt{x+2]+15=10x+3\sqrt{x+2}[/TEX]
Lời giải :
Ta có:
[TEX]2x\sqrt{x+2]+15=10x+3\sqrt{x+2}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 2x\sqrt{x+2}-10x-3\sqrt{x+2}+15=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (\sqrt{x+2}-5)(2x-3)=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \sqrt{x+2}-5=0[/TEX]
hoặc [TEX] 2x-3=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow x=23;x=\frac{3}{2}[/TEX]
p\s: còn 4 phương pháp nữa!
Last edited by a moderator: