các kĩ năng giải Phương trình lượng giác tổng quát

[chiasetailieu]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

[FONT=&quot]mình thấy trong đề thi đại học câu pt lượng giác là dễ ăn điểm nhất nên mình post lên bài này mong giúp cho các bạn lấy được điểm bài lượng giác, có thiếu sót gì mong các bổ sung giúp mình nha.
[/FONT][FONT=&quot]Ta có 3 kĩ năng giải phương trình lượng giác tổng quát[/FONT][FONT=&quot]
Kĩ năng 1: Phát hiện các biểu thức đặc biệt:
Chú ý đến những biểu thức đặc biệt (khi trong pt có những biểu thức này ta nên biến đổi theo hướng sau) để xác định nhanh hướng biến đổi, đặc biệt là trong những phương trình tích:[/FONT]

[FONT=&quot](chỉ cần nhớ hướng biến đổi)[/FONT]​

• [FONT=&quot][TEX]tanu + tanv=\frac{sinu}{cosu}+\frac{sinv}{cos}=\frac{sinu.cosv+sinv.cosu}{cosu.cosv}=\frac{sin(u+v)}{cosu.cosv}[/TEX][/FONT]
• [FONT=&quot][TEX]tanu +cotv=\frac{sinu}{cosu}+\frac{cosv}{sinv}=\frac{sinu.sinv+cosv.cosu}{cosu.sinv}=\frac{cos(u-v)}{cosu.sinv}[/TEX][/FONT]

[FONT=&quot]Các dạng[/FONT]

1. [FONT=&quot]1+tanu.tanv[/FONT]
2. [FONT=&quot]1-cotu.cotv[/FONT]
3. [FONT=&quot]1-tanu.cotv[/FONT]

[FONT=&quot]Viết dưới dạng sin, cos rồi qui đồng dùng công thức cộng
Nói chung có dạng [TEX]\frac{sin}{cos}[/TEX] [TEX]\pm[/TEX] [TEX]\frac{cos}{sin}[/TEX]
Khi gặp các biểu thức dạng nàytrong pt, ta lấy ra biến đổi riêng.[/FONT]

• [FONT=&quot][TEX]sin^2x = 1 - cos^2x = (1 - cosx)(1 + cosx)[/TEX][/FONT]
• [FONT=&quot][TEX]cos^2x = 1 - sin^2x = (1 - sinx)(1 + sinx)[/TEX][/FONT]
• [FONT=&quot][TEX]cos2x=cos^2x-sin^2x=(cosx-sinx)(cosx+sinx)[/TEX][/FONT]
• [FONT=&quot][TEX]1+sin2x=(cosx+sinx)^2[/TEX][/FONT]
• [FONT=&quot][TEX]1-sin2x=(cosx-sinx)^2[/TEX][/FONT]

[FONT=&quot]Khi gặp các biểu thức dạng này, ta chỉ dùng khi trong pt có các số hạng trùng với nhân tử của nó.[/FONT]

• [FONT=&quot][TEX]sqrt{3}[/TEX]:Khi gặp số [TEX]sqrt{3}[/TEX], [TEX]sqrt{3}[/TEX]cosx hay gom với sinx,[TEX]sqrt{3}[/TEX]sinx hay gom với cosx[/FONT]

[FONT=&quot]VD:giải pt: [TEX]cotx-tanx+4sin2x=\frac{2}{sin2x}[/TEX]
ĐK:[TEX]sin2x\not=\0[/TEX]
Trong pt có biểu thức cotx-tanx: biến đổi cụm nay trước:
ta có:[TEX]cotx-tanx=\frac{cosx}{sinx}-\frac{sinx}{cosx}=\frac{cos^2x-sin^2x}{sinx.cosx}[/TEX]
vậy pt: [TEX]\frac{2cos2x}{sin2x}+4sin2x=\frac{2}{sin2x}\Leftri2cos2x=4sin^2x=2[/TEX]
chuyển về cùng ĐK:
[TEX]4cos^2x+2cos2x+2=0\Leftri\[\begin{cos2x=1}\\{cos2x=\frac{-1}{2}[/TEX]
[TEX]\Leftri2x=\pm\frac{2\pi}{3}+k2\pi\Leftri x=\pm\frac{\pi}{3}+k\pi[/TEX]
trường hợp thứ nhất loại vì cos2x=1 thì sin2x=0
Kĩ năng 2: nhìn các biểu thức cùng cung, cùng loại.
[/FONT]

• Gom các biểu thức cùng cung lại xem có công thức đặc biệt ko? Nếu có công thức đặc biệt thì đi theo hướng này.
• Tỉ lệ hệ số trong là [TEX]\le2[/TEX] thì thường ta dùng công thức đưa các biểu thức về cùng cung. Ví dụ trong phương trình lượng giác có x.2x,3x ta có thể tìm cách đưa về x; trong phương trình có 2x,4x có thể đưa về các giá trị của 2x...

Trong phương trình nếu có cả sin, cos, tan(hoặc cot) thì đưa về tan, cot về dạng [TEX]\frac{sin}{cos},\frac{cos}{sin}[/TEX].
Ví dụ1: Giải phương trình: [TEX]sin2x+sinx-\frac{1}{sin2x}-\frac{1}{2sinx}=2cot2x[/TEX] (1)
ĐK:[TEX]sin2x\not=0[/TEX]
Không có biểu thức đặc biệt, biểu thức trong là x và 2x: gom các biểu thức cùng cung lại:
[TEX]sin2x-\frac{1}{sin2x}=\frac{sin^2 2x-1}{sin2x}\to[/TEX] có công thức đặc biệt là: 1-sin^2
[TEX]sinx -\frac{1}{sin2x}=\frac{2sin^2x-1}{2sinx}\to[/TEX] có công thức đặc biệt. Như vậy trước hết gom các biểu thức này biến đổi trước.
[TEX](1)\Leftri (sin2x-\frac{1}{sin2x})+(sinx-\frac{1}{sin2x})=\frac{2cos2x}{sin2x}[/TEX]
[TEX]\Leftri\frac{-cos^2 2x}{sin2x}+\frac{-cos2x}{2sinx}=\frac{2cos2x}{sin2x}\Leftri\frac{cos2x}{sin2x}(cos2x+cosx+2)=0[/TEX]
(Vì có nhân tử chung ta đặt nhân tử chung)
[TEX]\Leftri\[\begin{cos2x=0}\\{cos2x+cosx+2=0}\Leftri\[\begin{cos2x=0}\\{2cos^2x+cosx+1=0}[/TEX]
[TEX]\Leftri cos2x=0\Leftri x=\frac{\pi}{4}+\frac{k \pi}{2}(k\in Z)[/TEX]
Cách thử ĐK: [TEX]cos2x=0[/TEX] thì [TEX]sin2x\not=0[/TEX](thỏa), còn lại tính 2x thử sin.
Ví dụ 2: giải phương trình: [TEX]sin2x+2sin\left(\frac{\pi}{2}+2x=1+sinx-4cosx)[/TEX] (1)
Chú ý công thức liên kết, đưa về cùng cung: [TEX]sin\left(\frac{\pi}{2}+2x)=cos2x[/TEX]
(1) [TEX]\Leftri 2sinxcosx+2cos2x-sinx+4cosx-1=0[/TEX]
[TEX]cos2x=2cos^2x-1 hay 1-2sin^2x hay cos^2x-sin^2x???[/TEX]
Có tổng, tích hai đại lượng: sinx và cosx ta phân tích thành nhân tử.
Kĩ năng phân tích thành nhân tử: Gom các số hạng có tỉ lệ hệ số bằng nhau; quan niệm phương trình bậc hai theo một ẩn để phân tích thành nhân tử:
+ nếu quan niệm theo B2 đối với sinx, ta đưa [TEX]cos2x=1-sin^2x[/TEX]. Phương trình chia làm 2 cụm:
([TEX]-4sin^2x-sinx+1)[/TEX] và [TEX](2sinxcosx+4cosx)[/TEX], phương trình đầu ko có nghiệm đặc biệt nên ko thê quan niệm bậc hai theo phương trình bậc hai đối với sinx được.
+ Vậy quan niệm theo đối với cosx, ta đưa [TEX]cos2x=2cos^2x-1[/TEX]
[TEX](1) \Leftri (4cos^2x+4cosx-3)+(2sinxcosx-sinx)=0[/TEX]
[TEX]\Leftri (2cosx-1)(2cosx+3)+sinx(2cosx-1)=0[/TEX]
[TEX]\Leftri (2cosx-1)(2cosx+sinx+3)=0 \Leftri\[\begin{cosx=\frac{1}{2}}\\{2cosx+sinx+3=0}[/TEX]
[TEX]cosx=\frac{1}{2}\Leftri x=\pm\frac{\pi}{3}+k2\pi(k\in Z)[/TEX]
2cosx+sinx+3=0 (vô nghiệm do [TEX]2^2+1^2<3^2[/TEX])
Kĩ năng 3: Nhìn biểu thức trong, hệ số ngoài.
Hệ số ngoài:

• Nếu có cùng tỉ lệ thì thường gom các biểu thức cùng tỉ lệ để phân tích nhân tử.
• Chú ý hệ số ngoài ko giống nhau thì ko áp dụng công thức lượng giác được, như vậy các số hạng có hệ số ngoài khác hẳn(như 3va5...)thì ta ko gom lai với nhau.

• Trong bài toán có phân số:

+ Mẫu số đơn giản: quy đồng, nhân chéo được.
+ Mẫu số phức tạp: rút gọn phân số trước.
Biểu thức trong:

• Xem các biểu thức có mối quan hệ gì với nhau để áp dụng công thức

+ Chú ý tổng, hiệu các hệ số trong xem có bằng nhau ko để xác định cách sử dụng công thức, VD A + B = C thì liên tưởng tới công thức tích thành tổng.
+ A + B = 2C thì liên tưởng tới công thức tổng thành tích...
Ví dụ 1: Giải phương trình: [TEX]sin(\frac{5x}{2}-\frac{\pi}{4})-cos(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{2})=\sqrt2cos(\frac{3x}{2}[/TEX](1)
Hệ số ngoài: hai biểu thức đầu giống nhau, biểu thức sau không giống: bỏ riêng biểu thức số 3 ra; ta chú ý tới 2 biểu thức đầu.
Hệ số trong [TEX]\frac{5x}{2};\frac{x}{2};\frac{x}{2}[/TEX] có mối quan hệ đặc biệt:[TEX]\frac{5x}{2}+\frac{x}{2}=2.\frac{3x}{2}[/TEX]: ta dùng công thức cộng để đưa về tích, nhưng trong công thức không có sin-cos [TEX]\to[/TEX] ta đổi cos thành sin để dùng được công thức.
Ta có:[TEX]cos(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4})=sin[\frac{\pi}{2}-(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4})]=sin(\frac{3\pi}{4}-\frac{x}{2})[/TEX]
[TEX](1) \Leftri sin(\frac{5x}{2}-\frac{\pi}{4})-sin(\frac{3\pi}{4}-\frac{x}{2})=\sqrt2cos(\frac{3x}{2}[/TEX]
[TEX]\Leftri 2sin(\frac{3x}{2}-\frac{\pi}{2}cos(x+\frac{\pi}{4})=\sqrt2cos(\frac{3x}{2})(2)[/TEX]
Chú ý tới công thức phụ: [TEX]sin(\frac{3x}{2}-\frac{\pi}{2})=-cos(\frac{3x}{2}[/TEX]
[TEX](2) \Leftri \sqrt2cos(\frac{3x}{2})[\sqrt2cos(x+\frac{\pi}{4})+1]=0 \Leftri\[\begin{cos(\frac{3x}{2})=0}\\{cos(x+\frac{\pi}{4})}=\frac{-1}{\sqrt2}[/TEX]
Mình sẽ tiếp tục share các cách nhìn PTLG.
Ai có BTLG nào hay cứ post lên cho mọi người cùng giải
Chúc mọi người thành công!

 

[your_ever]

Hay thì hay thật nhưng hơi khó nhìn

@-) @-) @-)

 

[riely_marion19]

ths bạn nha! nhưng bạn có phụ trách bên phương trình vô tỉ, hệ pt lun k?

 

[chiasetailieu]

sr nha mình mới sử dụng latex nên chưa quen lắm
còn pt vô tỉ, hệ pt mình thấy khó xơi quá nên ko tìm hiểu kĩ

 

[defhuong]

[FONT=&quot]mình thấy trong đề thi đại học câu pt lượng giác là dễ ăn điểm nhất nên mình post lên bài này mong giúp cho các bạn lấy được điểm bài lượng giác, có thiếu sót gì mong các bổ sung giúp mình nha.
[/FONT][FONT=&quot]Ta có 3 kĩ năng giải phương trình lượng giác tổng quát[/FONT][FONT=&quot]
Kĩ năng 1: Phát hiện các biểu thức đặc biệt:
Chú ý đến những biểu thức đặc biệt (khi trong pt có những biểu thức này ta nên biến đổi theo hướng sau) để xác định nhanh hướng biến đổi, đặc biệt là trong những phương trình tích:[/FONT]

[FONT=&quot](chỉ cần nhớ hướng biến đổi)[/FONT]​

• [FONT=&quot][TEX]tanu + tanv=\frac{sinu}{cosu}+\frac{sinv}{cos}=\frac{sinu.cosv+sinv.cosu}{cosu.cosv}=\frac{sin(u+v)}{cosu.cosv}[/TEX][/FONT]
• [FONT=&quot][TEX]tanu +cotv=\frac{sinu}{cosu}+\frac{cosv}{sinv}=\frac{sinu.sinv+cosv.cosu}{cosu.sinv}=\frac{cos(u-v)}{cosu.sinv}[/TEX][/FONT]

[FONT=&quot]Các dạng[/FONT]

1. [FONT=&quot]1+tanu.tanv[/FONT]
2. [FONT=&quot]1-cotu.cotv[/FONT]
3. [FONT=&quot]1-tanu.cotv[/FONT]

[FONT=&quot]Viết dưới dạng sin, cos rồi qui đồng dùng công thức cộng
Nói chung có dạng [TEX]\frac{sin}{cos}[/TEX] [TEX]\pm[/TEX] [TEX]\frac{cos}{sin}[/TEX]
Khi gặp các biểu thức dạng nàytrong pt, ta lấy ra biến đổi riêng.[/FONT]

• [FONT=&quot][TEX]sin^2x = 1 - cos^2x = (1 - cosx)(1 + cosx)[/TEX][/FONT]
• [FONT=&quot][TEX]cos^2x = 1 - sin^2x = (1 - sinx)(1 + sinx)[/TEX][/FONT]
• [FONT=&quot][TEX]cos2x=cos^2x-sin^2x=(cosx-sinx)(cosx+sinx)[/TEX][/FONT]
• [FONT=&quot][TEX]1+sin2x=(cosx+sinx)^2[/TEX][/FONT]
• [FONT=&quot][TEX]1-sin2x=(cosx-sinx)^2[/TEX][/FONT]

[FONT=&quot]Khi gặp các biểu thức dạng này, ta chỉ dùng khi trong pt có các số hạng trùng với nhân tử của nó.[/FONT]

• [FONT=&quot][TEX]sqrt{3}[/TEX]:Khi gặp số [TEX]sqrt{3}[/TEX], [TEX]sqrt{3}[/TEX]cosx hay gom với sinx,[TEX]sqrt{3}[/TEX]sinx hay gom với cosx[/FONT]

[FONT=&quot]VD:giải pt: [TEX]cotx-tanx+4sin2x=\frac{2}{sin2x}[/TEX]
ĐK:[TEX]sin2x\not=\0[/TEX]
Trong pt có biểu thức cotx-tanx: biến đổi cụm nay trước:
ta có:[TEX]cotx-tanx=\frac{cosx}{sinx}-\frac{sinx}{cosx}=\frac{cos^2x-sin^2x}{sinx.cosx}[/TEX]
vậy pt: [TEX]\frac{2cos2x}{sin2x}+4sin2x=\frac{2}{sin2x}\Leftri2cos2x=4sin^2x=2[/TEX]
chuyển về cùng ĐK:
[TEX]4cos^2x+2cos2x+2=0\Leftri\[\begin{cos2x=1}\\{cos2x=\frac{-1}{2}[/TEX]
[TEX]\Leftri2x=\pm\frac{2\pi}{3}+k2\pi\Leftri x=\pm\frac{\pi}{3}+k\pi[/TEX]
trường hợp thứ nhất loại vì cos2x=1 thì sin2x=0
Kĩ năng 2: nhìn các biểu thức cùng cung, cùng loại.
[/FONT]

• Gom các biểu thức cùng cung lại xem có công thức đặc biệt ko? Nếu có công thức đặc biệt thì đi theo hướng này.
• Tỉ lệ hệ số trong là [TEX]\le2[/TEX] thì thường ta dùng công thức đưa các biểu thức về cùng cung. Ví dụ trong phương trình lượng giác có x.2x,3x ta có thể tìm cách đưa về x; trong phương trình có 2x,4x có thể đưa về các giá trị của 2x...

Trong phương trình nếu có cả sin, cos, tan(hoặc cot) thì đưa về tan, cot về dạng [TEX]\frac{sin}{cos},\frac{cos}{sin}[/TEX].
Ví dụ1: Giải phương trình: [TEX]sin2x+sinx-\frac{1}{sin2x}-\frac{1}{2sinx}=2cot2x[/TEX] (1)
ĐK:[TEX]sin2x\not=0[/TEX]
Không có biểu thức đặc biệt, biểu thức trong là x và 2x: gom các biểu thức cùng cung lại:
[TEX]sin2x-\frac{1}{sin2x}=\frac{sin^2 2x-1}{sin2x}\to[/TEX] có công thức đặc biệt là: 1-sin^2
[TEX]sinx -\frac{1}{sin2x}=\frac{2sin^2x-1}{2sinx}\to[/TEX] có công thức đặc biệt. Như vậy trước hết gom các biểu thức này biến đổi trước.
[TEX](1)\Leftri (sin2x-\frac{1}{sin2x})+(sinx-\frac{1}{sin2x})=\frac{2cos2x}{sin2x}[/TEX]
[TEX]\Leftri\frac{-cos^2 2x}{sin2x}+\frac{-cos2x}{2sinx}=\frac{2cos2x}{sin2x}\Leftri\frac{cos2x}{sin2x}(cos2x+cosx+2)=0[/TEX]
(Vì có nhân tử chung ta đặt nhân tử chung)
[TEX]\Leftri\[\begin{cos2x=0}\\{cos2x+cosx+2=0}\Leftri\[\begin{cos2x=0}\\{2cos^2x+cosx+1=0}[/TEX]
[TEX]\Leftri cos2x=0\Leftri x=\frac{\pi}{4}+\frac{k \pi}{2}(k\in Z)[/TEX]
Cách thử ĐK: [TEX]cos2x=0[/TEX] thì [TEX]sin2x\not=0[/TEX](thỏa), còn lại tính 2x thử sin.
Ví dụ 2: giải phương trình: [TEX]sin2x+2sin\left(\frac{\pi}{2}+2x=1+sinx-4cosx)[/TEX] (1)
Chú ý công thức liên kết, đưa về cùng cung: [TEX]sin\left(\frac{\pi}{2}+2x)=cos2x[/TEX]
(1) [TEX]\Leftri 2sinxcosx+2cos2x-sinx+4cosx-1=0[/TEX]
[TEX]cos2x=2cos^2x-1 hay 1-2sin^2x hay cos^2x-sin^2x???[/TEX]
Có tổng, tích hai đại lượng: sinx và cosx ta phân tích thành nhân tử.
Kĩ năng phân tích thành nhân tử: Gom các số hạng có tỉ lệ hệ số bằng nhau; quan niệm phương trình bậc hai theo một ẩn để phân tích thành nhân tử:
+ nếu quan niệm theo B2 đối với sinx, ta đưa [TEX]cos2x=1-sin^2x[/TEX]. Phương trình chia làm 2 cụm:
([TEX]-4sin^2x-sinx+1)[/TEX] và [TEX](2sinxcosx+4cosx)[/TEX], phương trình đầu ko có nghiệm đặc biệt nên ko thê quan niệm bậc hai theo phương trình bậc hai đối với sinx được.
+ Vậy quan niệm theo đối với cosx, ta đưa [TEX]cos2x=2cos^2x-1[/TEX]
[TEX](1) \Leftri (4cos^2x+4cosx-3)+(2sinxcosx-sinx)=0[/TEX]
[TEX]\Leftri (2cosx-1)(2cosx+3)+sinx(2cosx-1)=0[/TEX]
[TEX]\Leftri (2cosx-1)(2cosx+sinx+3)=0 \Leftri\[\begin{cosx=\frac{1}{2}}\\{2cosx+sinx+3=0}[/TEX]
[TEX]cosx=\frac{1}{2}\Leftri x=\pm\frac{\pi}{3}+k2\pi(k\in Z)[/TEX]
2cosx+sinx+3=0 (vô nghiệm do [TEX]2^2+1^2<3^2[/TEX])
Kĩ năng 3: Nhìn biểu thức trong, hệ số ngoài.
Hệ số ngoài:

• Nếu có cùng tỉ lệ thì thường gom các biểu thức cùng tỉ lệ để phân tích nhân tử.
• Chú ý hệ số ngoài ko giống nhau thì ko áp dụng công thức lượng giác được, như vậy các số hạng có hệ số ngoài khác hẳn(như 3va5...)thì ta ko gom lai với nhau.

• Trong bài toán có phân số:

+ Mẫu số đơn giản: quy đồng, nhân chéo được.
+ Mẫu số phức tạp: rút gọn phân số trước.
Biểu thức trong:

• Xem các biểu thức có mối quan hệ gì với nhau để áp dụng công thức

+ Chú ý tổng, hiệu các hệ số trong xem có bằng nhau ko để xác định cách sử dụng công thức, VD A + B = C thì liên tưởng tới công thức tích thành tổng.
+ A + B = 2C thì liên tưởng tới công thức tổng thành tích...
Ví dụ 1: Giải phương trình: [TEX]sin(\frac{5x}{2}-\frac{\pi}{4})-cos(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{2})=\sqrt2cos(\frac{3x}{2}[/TEX](1)
Hệ số ngoài: hai biểu thức đầu giống nhau, biểu thức sau không giống: bỏ riêng biểu thức số 3 ra; ta chú ý tới 2 biểu thức đầu.
Hệ số trong [TEX]\frac{5x}{2};\frac{x}{2};\frac{x}{2}[/TEX] có mối quan hệ đặc biệt:[TEX]\frac{5x}{2}+\frac{x}{2}=2.\frac{3x}{2}[/TEX]: ta dùng công thức cộng để đưa về tích, nhưng trong công thức không có sin-cos [TEX]\to[/TEX] ta đổi cos thành sin để dùng được công thức.
Ta có:[TEX]cos(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4})=sin[\frac{\pi}{2}-(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4})]=sin(\frac{3\pi}{4}-\frac{x}{2})[/TEX]
[TEX](1) \Leftri sin(\frac{5x}{2}-\frac{\pi}{4})-sin(\frac{3\pi}{4}-\frac{x}{2})=\sqrt2cos(\frac{3x}{2}[/TEX]
[TEX]\Leftri 2sin(\frac{3x}{2}-\frac{\pi}{2}cos(x+\frac{\pi}{4})=\sqrt2cos(\frac{3x}{2})(2)[/TEX]
Chú ý tới công thức phụ: [TEX]sin(\frac{3x}{2}-\frac{\pi}{2})=-cos(\frac{3x}{2}[/TEX]
[TEX](2) \Leftri \sqrt2cos(\frac{3x}{2})[\sqrt2cos(x+\frac{\pi}{4})+1]=0 \Leftri\[\begin{cos(\frac{3x}{2})=0}\\{cos(x+\frac{\pi}{4})}=\frac{-1}{\sqrt2}[/TEX]
Mình sẽ tiếp tục share các cách nhìn PTLG.
Ai có BTLG nào hay cứ post lên cho mọi người cùng giải
Chúc mọi người thành công!

sao lại có người tốt như cậu chứ :-* chúc cậu học tốt. cảm ơn cậu rất nhiều nhé

 

[peihsen_doyle]

[FONT=&quot]mình thấy trong đề thi đại học câu pt lượng giác là dễ ăn điểm nhất nên mình post lên bài này mong giúp cho các bạn lấy được điểm bài lượng giác, có thiếu sót gì mong các bổ sung giúp mình nha.
[/FONT][FONT=&quot]Ta có 3 kĩ năng giải phương trình lượng giác tổng quát[/FONT][FONT=&quot]
Kĩ năng 1: Phát hiện các biểu thức đặc biệt:
Chú ý đến những biểu thức đặc biệt (khi trong pt có những biểu thức này ta nên biến đổi theo hướng sau) để xác định nhanh hướng biến đổi, đặc biệt là trong những phương trình tích:[/FONT]

[FONT=&quot](chỉ cần nhớ hướng biến đổi)[/FONT]​

• [FONT=&quot][TEX]tanu + tanv=\frac{sinu}{cosu}+\frac{sinv}{cos}=\frac{sinu.cosv+sinv.cosu}{cosu.cosv}=\frac{sin(u+v)}{cosu.cosv}[/TEX][/FONT]
• [FONT=&quot][TEX]tanu +cotv=\frac{sinu}{cosu}+\frac{cosv}{sinv}=\frac{sinu.sinv+cosv.cosu}{cosu.sinv}=\frac{cos(u-v)}{cosu.sinv}[/TEX][/FONT]

[FONT=&quot]Các dạng[/FONT]

1. [FONT=&quot]1+tanu.tanv[/FONT]
2. [FONT=&quot]1-cotu.cotv[/FONT]
3. [FONT=&quot]1-tanu.cotv[/FONT]

[FONT=&quot]Viết dưới dạng sin, cos rồi qui đồng dùng công thức cộng
Nói chung có dạng [TEX]\frac{sin}{cos}[/TEX] [TEX]\pm[/TEX] [TEX]\frac{cos}{sin}[/TEX]
Khi gặp các biểu thức dạng nàytrong pt, ta lấy ra biến đổi riêng.[/FONT]

• [FONT=&quot][TEX]sin^2x = 1 - cos^2x = (1 - cosx)(1 + cosx)[/TEX][/FONT]
• [FONT=&quot][TEX]cos^2x = 1 - sin^2x = (1 - sinx)(1 + sinx)[/TEX][/FONT]
• [FONT=&quot][TEX]cos2x=cos^2x-sin^2x=(cosx-sinx)(cosx+sinx)[/TEX][/FONT]
• [FONT=&quot][TEX]1+sin2x=(cosx+sinx)^2[/TEX][/FONT]
• [FONT=&quot][TEX]1-sin2x=(cosx-sinx)^2[/TEX][/FONT]

[FONT=&quot]Khi gặp các biểu thức dạng này, ta chỉ dùng khi trong pt có các số hạng trùng với nhân tử của nó.[/FONT]

• [FONT=&quot][TEX]sqrt{3}[/TEX]:Khi gặp số [TEX]sqrt{3}[/TEX], [TEX]sqrt{3}[/TEX]cosx hay gom với sinx,[TEX]sqrt{3}[/TEX]sinx hay gom với cosx[/FONT]

[FONT=&quot]VD:giải pt: [TEX]cotx-tanx+4sin2x=\frac{2}{sin2x}[/TEX]
ĐK:[TEX]sin2x\not=\0[/TEX]
Trong pt có biểu thức cotx-tanx: biến đổi cụm nay trước:
ta có:[TEX]cotx-tanx=\frac{cosx}{sinx}-\frac{sinx}{cosx}=\frac{cos^2x-sin^2x}{sinx.cosx}[/TEX]
vậy pt: [TEX]\frac{2cos2x}{sin2x}+4sin2x=\frac{2}{sin2x}\Leftri2cos2x=4sin^2x=2[/TEX]
chuyển về cùng ĐK:
[TEX]4cos^2x+2cos2x+2=0\Leftri\[\begin{cos2x=1}\\{cos2x=\frac{-1}{2}[/TEX]
[TEX]\Leftri2x=\pm\frac{2\pi}{3}+k2\pi\Leftri x=\pm\frac{\pi}{3}+k\pi[/TEX]
trường hợp thứ nhất loại vì cos2x=1 thì sin2x=0
Kĩ năng 2: nhìn các biểu thức cùng cung, cùng loại.
[/FONT]

• Gom các biểu thức cùng cung lại xem có công thức đặc biệt ko? Nếu có công thức đặc biệt thì đi theo hướng này.
• Tỉ lệ hệ số trong là [TEX]\le2[/TEX] thì thường ta dùng công thức đưa các biểu thức về cùng cung. Ví dụ trong phương trình lượng giác có x.2x,3x ta có thể tìm cách đưa về x; trong phương trình có 2x,4x có thể đưa về các giá trị của 2x...

Trong phương trình nếu có cả sin, cos, tan(hoặc cot) thì đưa về tan, cot về dạng [TEX]\frac{sin}{cos},\frac{cos}{sin}[/TEX].
Ví dụ1: Giải phương trình: [TEX]sin2x+sinx-\frac{1}{sin2x}-\frac{1}{2sinx}=2cot2x[/TEX] (1)
ĐK:[TEX]sin2x\not=0[/TEX]
Không có biểu thức đặc biệt, biểu thức trong là x và 2x: gom các biểu thức cùng cung lại:
[TEX]sin2x-\frac{1}{sin2x}=\frac{sin^2 2x-1}{sin2x}\to[/TEX] có công thức đặc biệt là: 1-sin^2
[TEX]sinx -\frac{1}{sin2x}=\frac{2sin^2x-1}{2sinx}\to[/TEX] có công thức đặc biệt. Như vậy trước hết gom các biểu thức này biến đổi trước.
[TEX](1)\Leftri (sin2x-\frac{1}{sin2x})+(sinx-\frac{1}{sin2x})=\frac{2cos2x}{sin2x}[/TEX]
[TEX]\Leftri\frac{-cos^2 2x}{sin2x}+\frac{-cos2x}{2sinx}=\frac{2cos2x}{sin2x}\Leftri\frac{cos2x}{sin2x}(cos2x+cosx+2)=0[/TEX]
(Vì có nhân tử chung ta đặt nhân tử chung)
[TEX]\Leftri\[\begin{cos2x=0}\\{cos2x+cosx+2=0}\Leftri\[\begin{cos2x=0}\\{2cos^2x+cosx+1=0}[/TEX]
[TEX]\Leftri cos2x=0\Leftri x=\frac{\pi}{4}+\frac{k \pi}{2}(k\in Z)[/TEX]
Cách thử ĐK: [TEX]cos2x=0[/TEX] thì [TEX]sin2x\not=0[/TEX](thỏa), còn lại tính 2x thử sin.
Ví dụ 2: giải phương trình: [TEX]sin2x+2sin\left(\frac{\pi}{2}+2x=1+sinx-4cosx)[/TEX] (1)
Chú ý công thức liên kết, đưa về cùng cung: [TEX]sin\left(\frac{\pi}{2}+2x)=cos2x[/TEX]
(1) [TEX]\Leftri 2sinxcosx+2cos2x-sinx+4cosx-1=0[/TEX]
[TEX]cos2x=2cos^2x-1 hay 1-2sin^2x hay cos^2x-sin^2x???[/TEX]
Có tổng, tích hai đại lượng: sinx và cosx ta phân tích thành nhân tử.
Kĩ năng phân tích thành nhân tử: Gom các số hạng có tỉ lệ hệ số bằng nhau; quan niệm phương trình bậc hai theo một ẩn để phân tích thành nhân tử:
+ nếu quan niệm theo B2 đối với sinx, ta đưa [TEX]cos2x=1-sin^2x[/TEX]. Phương trình chia làm 2 cụm:
([TEX]-4sin^2x-sinx+1)[/TEX] và [TEX](2sinxcosx+4cosx)[/TEX], phương trình đầu ko có nghiệm đặc biệt nên ko thê quan niệm bậc hai theo phương trình bậc hai đối với sinx được.
+ Vậy quan niệm theo đối với cosx, ta đưa [TEX]cos2x=2cos^2x-1[/TEX]
[TEX](1) \Leftri (4cos^2x+4cosx-3)+(2sinxcosx-sinx)=0[/TEX]
[TEX]\Leftri (2cosx-1)(2cosx+3)+sinx(2cosx-1)=0[/TEX]
[TEX]\Leftri (2cosx-1)(2cosx+sinx+3)=0 \Leftri\[\begin{cosx=\frac{1}{2}}\\{2cosx+sinx+3=0}[/TEX]
[TEX]cosx=\frac{1}{2}\Leftri x=\pm\frac{\pi}{3}+k2\pi(k\in Z)[/TEX]
2cosx+sinx+3=0 (vô nghiệm do [TEX]2^2+1^2<3^2[/TEX])
Kĩ năng 3: Nhìn biểu thức trong, hệ số ngoài.
Hệ số ngoài:

• Nếu có cùng tỉ lệ thì thường gom các biểu thức cùng tỉ lệ để phân tích nhân tử.
• Chú ý hệ số ngoài ko giống nhau thì ko áp dụng công thức lượng giác được, như vậy các số hạng có hệ số ngoài khác hẳn(như 3va5...)thì ta ko gom lai với nhau.

• Trong bài toán có phân số:

+ Mẫu số đơn giản: quy đồng, nhân chéo được.
+ Mẫu số phức tạp: rút gọn phân số trước.
Biểu thức trong:

• Xem các biểu thức có mối quan hệ gì với nhau để áp dụng công thức

+ Chú ý tổng, hiệu các hệ số trong xem có bằng nhau ko để xác định cách sử dụng công thức, VD A + B = C thì liên tưởng tới công thức tích thành tổng.
+ A + B = 2C thì liên tưởng tới công thức tổng thành tích...
Ví dụ 1: Giải phương trình: [TEX]sin(\frac{5x}{2}-\frac{\pi}{4})-cos(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{2})=\sqrt2cos(\frac{3x}{2}[/TEX](1)
Hệ số ngoài: hai biểu thức đầu giống nhau, biểu thức sau không giống: bỏ riêng biểu thức số 3 ra; ta chú ý tới 2 biểu thức đầu.
Hệ số trong [TEX]\frac{5x}{2};\frac{x}{2};\frac{x}{2}[/TEX] có mối quan hệ đặc biệt:[TEX]\frac{5x}{2}+\frac{x}{2}=2.\frac{3x}{2}[/TEX]: ta dùng công thức cộng để đưa về tích, nhưng trong công thức không có sin-cos [TEX]\to[/TEX] ta đổi cos thành sin để dùng được công thức.
Ta có:[TEX]cos(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4})=sin[\frac{\pi}{2}-(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4})]=sin(\frac{3\pi}{4}-\frac{x}{2})[/TEX]
[TEX](1) \Leftri sin(\frac{5x}{2}-\frac{\pi}{4})-sin(\frac{3\pi}{4}-\frac{x}{2})=\sqrt2cos(\frac{3x}{2}[/TEX]
[TEX]\Leftri 2sin(\frac{3x}{2}-\frac{\pi}{2}cos(x+\frac{\pi}{4})=\sqrt2cos(\frac{3x}{2})(2)[/TEX]
Chú ý tới công thức phụ: [TEX]sin(\frac{3x}{2}-\frac{\pi}{2})=-cos(\frac{3x}{2}[/TEX]
[TEX](2) \Leftri \sqrt2cos(\frac{3x}{2})[\sqrt2cos(x+\frac{\pi}{4})+1]=0 \Leftri\[\begin{cos(\frac{3x}{2})=0}\\{cos(x+\frac{\pi}{4})}=\frac{-1}{\sqrt2}[/TEX]
Mình sẽ tiếp tục share các cách nhìn PTLG.
Ai có BTLG nào hay cứ post lên cho mọi người cùng giải
Chúc mọi người thành công!

Bạn thật tốt quá, bài của bạn giúp ích cho thật nhiều người đang lơ mơ về lượng giác mong bạn có các bài hay giống như vầy về HPT và PT nhé chúc bạn học tốt ^^

 

[chiasetailieu]

mình post các bài tập áp dụng này ai rảnh rỗi vào làm chơi!
giải các phương trình:
[TEX]1/ 5(sinx+\frac{cos3x+sin3x}{1+2sin2x})=cos2x+3[/TEX]
[TEX]2/ 2sin(x+\frac{\pi}{3})-sin(2x-\frac{\pi}{6})=\frac{1}{2}[/TEX]
[TEX]3/ (A-2005) cos^3xcos2x-cos^2x=0[/TEX]
[TEX]4/ (A-2006) \frac{2(cos^6x+sin^6x)-sinxcosx}{\sqrt2-2sinx}=0[/TEX]

 

[morningdew_kusa@yahoo.com.vn]

nghe kho hieu nhe? nhung thoi k sao
minh muon hoi the ve tai lieu phan tich phan.ai co thi post len cho a e cung xem na
chuc moi nguoi thi tot
thanks ban na

 

[anhvan11223344]

hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh

 

[nguyenbahiep1]

2cos6x+2cos4x-căn3 cos2x=sin2x+căn 3
các bạn ac làm mih bài này nhé:-SS:-SS\sqrt[n]{A

[laTEX]4cos5x.cosx - 2sinx.cosx = 2\sqrt{3}cos^2x \\ \\ TH_1: cosx = 0 \\ \\ TH_2: 2cos5x - sinx = \sqrt{3}cosx \\ \\ 2cos(x - \frac{\pi}{6} ) = 2cos5x[/laTEX]

 

[duongtuyetvu]

?????????????

[(1-2sinx)cosx]/[(1+2sinx)(1-sinx)]=căn 3
bạn nào làm giúp mình bài này nhé : When (69):

 

[sunghyora]

cảm ơn bạn lắm
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;