- 27 Tháng mười 2018
- 3,742
- 3,706
- 561
- Hà Nội
- Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Cho tam giác ABC, với các cạnh AB=c, BC=a, AC=b. Ta có các hệ thức sau:
1. Định lý Cosin:
[tex]a^2=b^2+c^2-2bccosA[/tex]
[TEX]b^2=a^2+c^2-2accosB[/TEX]
[TEX]c^2=a^2+b^2-2abcosC[/TEX]
Chứng minh: ta có: [tex]\overrightarrow{AB}=(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB})<=>AB^2=AC^2+BC^2+2\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CB}<=>AB^2=AC^2+BC^2+2AC.CB.cos(180-C)[/tex] (là góc kề bù với góc C, 2 vecto AC và CB phải đưa về chung gốc rồi mới xác định góc)
=>[TEX]c^2=a^2+b^2-2abcosC[/TEX]
Từ đó, ta có thể tính cos và suy ra 1 giá trị góc bất kì, khi biết 3 cạnh của tam giác:
[tex]cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}[/tex]
[tex]cosB=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}[/tex]a
[tex]cosC=\frac{b^2+a^2-c^2}{2ab}[/tex]
Mẹo: khi không chắc chắn lắm về việc +2cos(..) hay -2cos(..). Thì hãy thử ví dụ với 1 góc tù của tam giác, cạnh đối diện với góc tù luôn là lớn nhất
2. Định lý sin:
Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC, ta có: [tex]\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R[/tex]
3. Các công thức tính diện tích.
Ngoài công thức cơ bản đã biết : S = 1/2 độ dài cạnh x đường cao tương ứng, ta có các công thức sau:
[tex]S=\frac{1}{2}absinC=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{1}{2}acsinB=\frac{abc}{4R}=\rho r[/tex]
Với [TEX]\rho[/TEX] là nửa chu vi tam giác, r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác
Công thức Hê-rông: [tex]S=\sqrt{\rho(\rho-a)(\rho-b)(\rho-c)}[/tex] iác
4. Công thức độ dài trung tuyến
Gọi [TEX]m_a,m_b,m_c[/TEX] lần lượt là độ dài các trung tuyến xuất phát từ đỉnh A,B,C của tam giác.
Ta có: [tex]m_a^2=\frac{2(b^2+c^2)-a^2}{4}[/tex]
[tex]m_b^2=\frac{2(a^2+c^2)-b^2}{4}[/tex]
[tex]m_c^2=\frac{2(a^2+b^2)-c^2}{4}[/tex]
Chứng minh: Gọi M là trung điểm BC, ta có:
[tex]2\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}<=>4AM^2=AB^2+AC^2+2AB.AC.cosA<=>4m_a^2=b^2+c^2+2bccosA[/tex] (1)
Mà theo định lí cosin ta có: [tex]cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}[/tex]
Vậy thay vào biểu thức (1) ta có: [TEX]4m_a^2=b^2+c^2+b^2+c^2-a^2[/TEX] (đpcm)
Công thức nhìn có vẻ nhiều nhưng thực ra có các quy luật, chỉ cần nhớ một số công thức chính. Làm bài tập nhiều chúng ta sẽ nhớ công thức. Ngoài ra cần linh hoạt, ví dụ đề cho sin của góc, thì nhớ ngay tới định lý sin, hoặc công thức diện tích tam giác. Cho cos thì nhớ tới định lý cosin.. như ví dụ sau:
*Cho tam giác ABC có AB=5, BC=7, sinA=3/5. Biết góc C là góc tù. Tính diện tích tam giác
Ta nhìn thấy cho sinA nên nghĩ ngay tới định lý sin. Ta có:
[tex]\frac{AB}{sinC}=\frac{BC}{sinA}<=>sinC=\frac{ABsinA}{BC}=\frac{5.\frac{3}{5}}{7}=\frac{3}{7}[/tex]
Tới đây ta lấy arcsin, do góc C tù nên ta có: Góc A = [TEX]36^o[/TEX], góc B = [TEX]25^o[/TEX]
=> Góc C=[TEX]119^o[/TEX]
=>S=[tex]\frac{1}{2}.5.7.sin119^o[/tex]
1. Định lý Cosin:
[tex]a^2=b^2+c^2-2bccosA[/tex]
[TEX]b^2=a^2+c^2-2accosB[/TEX]
[TEX]c^2=a^2+b^2-2abcosC[/TEX]
Chứng minh: ta có: [tex]\overrightarrow{AB}=(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB})<=>AB^2=AC^2+BC^2+2\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CB}<=>AB^2=AC^2+BC^2+2AC.CB.cos(180-C)[/tex] (là góc kề bù với góc C, 2 vecto AC và CB phải đưa về chung gốc rồi mới xác định góc)
=>[TEX]c^2=a^2+b^2-2abcosC[/TEX]
Từ đó, ta có thể tính cos và suy ra 1 giá trị góc bất kì, khi biết 3 cạnh của tam giác:
[tex]cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}[/tex]
[tex]cosB=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}[/tex]a
[tex]cosC=\frac{b^2+a^2-c^2}{2ab}[/tex]
Mẹo: khi không chắc chắn lắm về việc +2cos(..) hay -2cos(..). Thì hãy thử ví dụ với 1 góc tù của tam giác, cạnh đối diện với góc tù luôn là lớn nhất
2. Định lý sin:
Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC, ta có: [tex]\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R[/tex]
3. Các công thức tính diện tích.
Ngoài công thức cơ bản đã biết : S = 1/2 độ dài cạnh x đường cao tương ứng, ta có các công thức sau:
[tex]S=\frac{1}{2}absinC=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{1}{2}acsinB=\frac{abc}{4R}=\rho r[/tex]
Với [TEX]\rho[/TEX] là nửa chu vi tam giác, r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác
Công thức Hê-rông: [tex]S=\sqrt{\rho(\rho-a)(\rho-b)(\rho-c)}[/tex] iác
4. Công thức độ dài trung tuyến
Gọi [TEX]m_a,m_b,m_c[/TEX] lần lượt là độ dài các trung tuyến xuất phát từ đỉnh A,B,C của tam giác.
Ta có: [tex]m_a^2=\frac{2(b^2+c^2)-a^2}{4}[/tex]
[tex]m_b^2=\frac{2(a^2+c^2)-b^2}{4}[/tex]
[tex]m_c^2=\frac{2(a^2+b^2)-c^2}{4}[/tex]
Chứng minh: Gọi M là trung điểm BC, ta có:
[tex]2\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}<=>4AM^2=AB^2+AC^2+2AB.AC.cosA<=>4m_a^2=b^2+c^2+2bccosA[/tex] (1)
Mà theo định lí cosin ta có: [tex]cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}[/tex]
Vậy thay vào biểu thức (1) ta có: [TEX]4m_a^2=b^2+c^2+b^2+c^2-a^2[/TEX] (đpcm)
Công thức nhìn có vẻ nhiều nhưng thực ra có các quy luật, chỉ cần nhớ một số công thức chính. Làm bài tập nhiều chúng ta sẽ nhớ công thức. Ngoài ra cần linh hoạt, ví dụ đề cho sin của góc, thì nhớ ngay tới định lý sin, hoặc công thức diện tích tam giác. Cho cos thì nhớ tới định lý cosin.. như ví dụ sau:
*Cho tam giác ABC có AB=5, BC=7, sinA=3/5. Biết góc C là góc tù. Tính diện tích tam giác
Ta nhìn thấy cho sinA nên nghĩ ngay tới định lý sin. Ta có:
[tex]\frac{AB}{sinC}=\frac{BC}{sinA}<=>sinC=\frac{ABsinA}{BC}=\frac{5.\frac{3}{5}}{7}=\frac{3}{7}[/tex]
Tới đây ta lấy arcsin, do góc C tù nên ta có: Góc A = [TEX]36^o[/TEX], góc B = [TEX]25^o[/TEX]
=> Góc C=[TEX]119^o[/TEX]
=>S=[tex]\frac{1}{2}.5.7.sin119^o[/tex]
