Toán 9 Các hệ thức giữa các đoạn thẳng trong tam giác vuông cân

[mbappe2k5]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Giả sử P và Q là hai điểm nằm trên BC sao cho P nằm giữa B và Q, Q nằm giữa P và C, và thỏa mãn [TEX]BP^2+CQ^2=PQ^2[/TEX]. Tìm số đo của [TEX]\widehat{PAQ}[/TEX].

 

[iceghost]

Biến đổi vòng vòng thôi nhỉ:
$BP^2 + CQ^2 = PQ^2$
$\iff BP^2 = PQ^2 - CQ^2$
$\iff (BC - CP)^2 = (PQ - CQ)(PQ + CQ)$
$\iff BC^2 - 2 BC \cdot CP + CP^2 = PC \cdot (PQ - CQ)$
$\iff BC^2 = PC(2 BC - CP + PQ - CQ$
$\iff BC^2 = 2 PC \cdot BQ$
Gọi $I$ là trung điểm $BC$ thì suy ra $BQ = \dfrac{BC^2}{2PC} > \dfrac{BC^2}{2BC} = BI$, tương tự thì $CP > CI$
Nói cách khác thì $I$ nằm giữa $P$ và $Q$
Biến đổi tiếp:
$BC^2 = 2 PC \cdot BQ$
$\iff 4AI^2 = 2(PI + IB)(QI + IB)$
$\iff 2AI^2 = PI \cdot QI + IB \cdot (PI + QI) + IB^2$
$\iff AI^2 = PI \cdot QI + IB \cdot PQ$
$\iff AQ^2 = QI^2 + PI \cdot QI + IB \cdot PQ$
$\iff AQ^2 = QI \cdot PQ + IB \cdot PQ$
$\iff AQ^2 = QP \cdot QB$
Tới đây suy ta $\triangle{QAP} \sim \triangle{QPA}$, suy ra $\widehat{PAQ} = 45^\circ$

 

[mbappe2k5]

Biến đổi vòng vòng thôi nhỉ:
$BP^2 + CQ^2 = PQ^2$
$\iff BP^2 = PQ^2 - CQ^2$
$\iff (BC - CP)^2 = (PQ - CQ)(PQ + CQ)$
$\iff BC^2 - 2 BC \cdot CP + CP^2 = PC \cdot (PQ - CQ)$
$\iff BC^2 = PC(2 BC - CP + PQ - CQ$
$\iff BC^2 = 2 PC \cdot BQ$
Gọi $I$ là trung điểm $BC$ thì suy ra $BQ = \dfrac{BC^2}{2PC} > \dfrac{BC^2}{2BC} = BI$, tương tự thì $CP > CI$
Nói cách khác thì $I$ nằm giữa $P$ và $Q$
Biến đổi tiếp:
$BC^2 = 2 PC \cdot BQ$
$\iff 4AI^2 = 2(PI + IB)(QI + IB)$
$\iff 2AI^2 = PI \cdot QI + IB \cdot (PI + QI) + IB^2$
$\iff AI^2 = PI \cdot QI + IB \cdot PQ$
$\iff AQ^2 = QI^2 + PI \cdot QI + IB \cdot PQ$
$\iff AQ^2 = QI \cdot PQ + IB \cdot PQ$
$\iff AQ^2 = QP \cdot QB$
Tới đây suy ta $\triangle{QAP} \sim \triangle{QPA}$, suy ra $\widehat{PAQ} = 45^\circ$

Vậy mấu chốt bài này là chứng minh tam giác đồng dạng để suy ra PAQ là 45 độ anh nhỉ?