Toán Các đề thi đề nghị HMEO 2012

[son9701]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Thưa các bạn

Vậy là thời gian của cuộc thi đã kết thúc và btc đang tích cực chấm bài tổng hợp điểm của các thành viên tham dự cuộc thi

Và sau đây là 5 bài đề nghị của HMEO 2012 kèm vs đề thi chính thức:
Các đề thi đề nghị đề nghị:

bosjeunhan:

1) Cho $(O;R)$ và điểm $A$ cố đỉnh. M là một điểm di chuyển trêm $(O)$. Tiếp tuyến của $(O)$ tại $ A$ và $M$ cắt nhau tại $P$. Đường tròn $(O_1;R_1)$ qua M và tiêp xúc AP. CMR: $(O_1;R_1)$ luôn tiếp xúc 1 đường tròn cố định

2)Cho $a,b,c >0$. CMR:
$\sum (a+b).(b+c).\sqrt[]{a-b+c}$ \geq $4.(a+b+c).\sqrt[]{(-a+b+c).(a-b+c).(a+b-c)}$

Nếu khó hơn thì lấy câu này:

Cho các số thực a,b,c thỏa mãn không có hai số nào đồng thời bằng $0$..
CMR: $\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}+ \dfrac{a^2.b+b^2.c+c^2.a}{a.b^2+b.c^2+c.a^2}$ \geq $\dfrac{5}{2}$

3) Giải hệ pt
$\left\{\begin{matrix}x^4+.x^3.y+9y=y^3.x+x^2.y^2+9x \\x.(y^3-x^3)=7\end{matrix}\right.$

@minhtuyb: Bò chế BĐT thì đúng là giết dân thật ="=
minhtuyb

Đề đề nghị chung kết HMEO​

Bài 1: Cho $\Delta ABC$ cân tại $A$. Các trung tuyến $AH,CD,BF$ của tam giác cắt nhau tại $G$. Gọi $E$ là trọng tâm của $\Delta ACD$; $O$ là tâm đường trọn ngoại tiếp $\Delta ABC$. Từ $G$ kẻ $GI// AC\ (I\in HC)$. CMR:

a) $\Delta ADG\sim \Delta DOE$ (4,5 đ)
b) $EO\perp CD$ (2,5 đ)


Bài 2: Cho các số thực $x,y,z$ thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=1$. Tìm GTLN của biểu thức :
$$xy(x^2+y^2+xy)+yz(y^2+z^2+yz)+xz(x^2+z^2+xz) $$

thienlongcuong

Giải PT :
[TEX]2x + 1 + x\sqrt{x^2 + 2} + (x +1)\sqrt{x^2 + 2x + 3} = 0[/TEX]

Giải hệ PT

Bài 2 :
Giải hệ
[TEX]\left{\begin{x^3 + 4y = y^3 + 16x}\\{y^2 + 1 = 5(1 + x^2)} [/TEX]

Các bài tập này đều là tâm huyết của các bạn,cám ơn các bạn rất nhiều

 

[minhtuyb]

Cho các số thực a,b,c thỏa mãn không có hai số nào đồng thời bằng $0$..
CMR: $\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}+ \dfrac{a^2.b+b^2.c+c^2.a}{a.b^2+b.c^2+c.a^2}$ \geq $\dfrac{5}{2}$

Không biết ý tưởng của ông bài này có phải là S.O.C (sum of cyclic) không nhỉ? Vì BĐT trên tương đương với:
$$\sum \dfrac{(a-b)^2}{2(a+c)(b+c)}\ge \dfrac{(a-b)(b-c)(c-a)}{ab^2+bc^2+ca^2}$$
Đã đưa được về dạng chính tắc S.O.C. Nhưng đang phân vân chưa biết nên c/m tiêu chuẩn cơ sở nào vì chưa quen cái này bằng S.O.S z_z (chỉ cần xét TH $c\ge b\ge a$)

 

[bosjeunhan]

Không biết ý tưởng của ông bài này có phải là S.O.C (sum of cyclic) không nhỉ? Vì BĐT trên tương đương với:
$$\sum \dfrac{(a-b)^2}{2(a+c)(b+c)}\ge \dfrac{(a-b)(b-c)(c-a)}{ab^2+bc^2+ca^2}$$
Đã đưa được về dạng chính tắc S.O.C. Nhưng đang phân vân chưa biết nên c/m tiêu chuẩn cơ sở nào vì chưa quen cái này bằng S.O.S z_z (chỉ cần xét TH $c\ge b\ge a$)

Haizz, bài này chế nó ra cả trang =))
Đâu có đơn giản thế đâu