Các dạng tóan lạ trong tìm GTLN,GTNn của hàm số lựợng giác

[winer1995]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Mình có một số bài này hơi lạ mọi người giúp với
TÌm GTLN,GTNN của các hàm số sau:
a/ [TEX]y={sin}^{2010}x+{cos}^{2010}x[/TEX]
b/ [TEX]y={sin}^{2}x{cos}^{4}x[/TEX]
c/[TEX]y=\frac{sinxcosx+{cos}^{2}x}{1+sinxcosx}[/TEX]

 

[hothithuyduong]

TÌm GTLN,GTNN của các hàm số sau:
a/ [TEX]y={sin}^{2010}x+{cos}^{2010}x[/TEX]

Ta có:

[tex]\left{\begin {sin^{2010} x \le sin^2x \\ cos^{2010}x \le cos^2x [/tex]

[tex]\Rightarrow y \le sin^2x+cos^2x=1 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \left{\begin{sinx=1}\\{cosx=0}[/TEX] hoặc [TEX]\left{\begin{sinx=0}\\{cosx=1}[/tex]

Min

[tex]\left{\begin{sin^{2010} \ge -1\\ cos^{2010} \ge -1[/tex]

[tex]\Rightarrow min y= -1 \Leftrightarrow \left{\begin{sinx=-1}\\{cosx=0}[/TEX] hoặc [TEX]\left{\begin{sinx = 0}\\{cosx = -1}[/tex]

 

[tuyn]

Ta có:

[tex]\left{\begin {sin^{2010} x \le sin^2x \\ cos^{2010}x \le cos^2x [/tex]

[tex]\Rightarrow y \le sin^2x+cos^2x=1 [/tex]

[TEX]\Leftrightarrow \left{\begin{sinx=1}\\{cosx=0}[/TEX] hoặc [TEX]\left{\begin{sinx=0}\\{cosx=1}[/TEX]

Min

[tex]\left{\begin{sin^{2010} \ge -1\\ cos^{2010} \ge -1[/tex]

[tex]\Rightarrow min y= -1 \Leftrightarrow \left{\begin{sinx=-1}\\{cosx=0}[/tex] hoặc [TEX]\left{\begin{sinx = 0}\\{cosx = -1}[/TEX]

Tìm Min SAi rồi
y \geq 0 mà.Bạn xem lại đi

 

[tuyn]

TÌm GTLN,GTNN của các hàm số sau:
a/ [TEX]y={sin}^{2010}x+{cos}^{2010}x[/TEX]

Max: đã được tìm bởi bạn Hothituyduong
Min:
Áp dụng BĐT phụ:
[TEX]a,b \geq 0: \frac{a^n+b^n}{2} \geq (\frac{a+b}{2})^n[/TEX]
Cm=PP quy nạp
Áp dụng cho:[TEX]a=sin^2x,b=cos^2x,n=1005[/TEX]
Hoặc:áp dụng BCS cho 1005 số
[TEX]sin^{2010}+1004.\frac{1}{2^{1005}} \geq 1005.\frac{sin^2x}{2^{1004}}[/TEX]
[TEX]cos^{2010}+1004.\frac{1}{2^{1005}} \geq 1005.\frac{cos^2x}{2^{1004}}[/TEX]
Cộng vế với vế là OK

b/ [TEX]y={sin}^{2}x{cos}^{4}x[/TEX]

Min:
[TEX]y \geq 0 \forall x \Rightarrow miny=0,khi:sinx.cosx=0 \Leftrightarrow sin2x=0[/TEX]
Max:
[TEX]2sin^2x.cos^4x=2sin^2x.cos^2x.cos^2x \leq (\frac{2sin^2x+cos^2x+cos^2x}{3})^3=\frac{8}{27}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow y \leq \frac{4}{27}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow Maxy=\frac{4}{27},khi:2sin^2x=cos^2x[/TEX]

TQ:tìm max:[TEX]y=sin^mx.cos^mx;m,n \in N[/TEX] (anh DUYNHAN1 làm rồi)

c/[TEX]y=\frac{sinxcosx+{cos}^{2}x}{1+sinxcosx}[/TEX]

[TEX]y=\frac{2sinxcosx+2cos^2x}{2+2sinxcosx}=\frac{sin2x+cos2x+1}{2+sin2x}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (y-1)sin2x-cos2x=1-2y(1)[/TEX]
PT (1) có nghiệm:
[TEX]\Leftrightarrow (y-1)^2+1 \geq (1-2y)^2 \Leftrightarrow 3y^2-2y-1 \leq 0 \Leftrightarrow \frac{-1}{3} \leq y \leq 1[/TEX]
[TEX]Vay:Maxy=1,Miny=\frac{-1}{3}[/TEX]

 

[nhocngo976]

a/ [TEX]y={sin}^{2010}x+{cos}^{2010}x[/TEX]

[TEX]\color{blue} sin^2x =t \ ( t \in [0;1]) \\\\ g(t)= t^{1005 }+ (1-t)^{1005} \\\\ g'(t)= 1005t^{1004} -1005(1-t)^{1004} \\\\ g'(t)=0 \leftrightarrow t^{1004} = (1-t)^{1004} \leftrightarrow \left[\begin{t=1-t \leftrightarrow t =\frac{1}{2} \\t=t-1 (loai) \right. \\\\ \left{\begin{ g(0)= 1 \\ g( 1)=1 \\ g(\frac{1}{2})= \frac{1}{2^{1004}} \right. \\\\ \rightarrow min \ g(t)= \frac{1}{2^{1004}} \ tai \ t= \frac{1}{2}\\\\ max \ g(t)=1 \ tai \ \left[\begin{t =0 \\ t=1 \right. \\\\ \rightarrow min y = \frac{1}{2^{1004}} \ tai \ sin^2x= \frac{1}{2} \leftrightarrow x=\frac{\pi}{4} + \frac{k \pi}{2} \\\\ max \ y= 1 \ tai \left[\begin{ sin^2x=0 \\ sin^2x=1 \right. \leftrightarrow x= \frac{k \pi}{2} [/TEX]

 

[ntb381]

Giúp em giải bài này ạ....

Tìm GTNN và GTLN của:
a. [TEX]y= {cos}^{10}x+{cos}^{10}(\frac{\pi }{2}-x)[/TEX]
b. [TEX]y= {sin}^{2}x {cos}^{4}x[/TEX]

 

[hoana1k47]

biến đổi đưa về dang tương tự thế là ok
thông cảm mình là thành viên mới nên không biết dùng CT toán nên không thê làm được

 

[niemkieuloveahbu]

a. [TEX]y= {cos}^{10}x+{cos}^{10}(\frac{\pi }{2}-x)[/TEX]

\Leftrightarrow[TEX]y= {cos}^{10}x+sin^{10}x[/TEX].Áp dụng AM-GM ta có:
[TEX]sin^{10} x + (\frac{1}{\sqrt{2}})^{10}+ (\frac{1}{\sqrt{2}})^{10}+ (\frac{1}{\sqrt{2}})^{10}+ (\frac{1}{\sqrt{2}})^{10} \geq 5.\frac{1}{2^4} sin^2 x[/TEX]

[TEX]cos^{10} x+ (\frac{1}{\sqrt{2}})^{10}+ (\frac{1}{\sqrt{2}})^{10}+ (\frac{1}{\sqrt{2}})^{10}+ (\frac{1}{\sqrt{2}})^{10} \ge 5.\frac{1}{2^4}cos ^2 x [/TEX]
Cộng vế với vế

[TEX]\Rightarrow y \ge {\frac{5}{2^4}} - \frac{8}{\sqrt{2^5}} = \frac{1}{2^4} [/TEX]

Min [TEX] sin^{10} x + cos^{10} x =\frac{1}{2^4} \Leftrightarrow sin x = cos x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} [/TEX]