các dạng nâng cao toán 8

[su10112000a]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

lớp 8 có rất nhều bài toán hay, minh xin giới thiệu với mấy bạn vài dạng cơ bản khi học nâng cao
PHẦN I: BIẾN ĐỔI ĐẠI SỐ:
1/ Tính giá trị biểu thức:
M=$\dfrac{4ab}{4a^2-b^2}$ với $4a^2+b^2$=$5ab$ và $4a>b>0$
2/ Cho $abc$ khác $0$ và $ab+bc+ca=0$, tính:
N=$\dfrac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}$
3/ Cho $a, b, c$ khác $0$ thỏa: $a+b+c=0$. Tính:
S=$\dfrac{1}{a^2+b^2-c^2} + \dfrac{1}{b^2+c^2-a^2} + \dfrac{1}{c^2+a^2-b^2}$
4/ Cho $a, b, c$ khác $0$ thỏa $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}$=$0$. Tính:
H=$\dfrac{a^2b^2c^2}{a^2b^2+b^2c^2-c^2a^2} + \dfrac{a^2b^2c^2}{b^2c^2+c^2a^2-a^2b^2} + \dfrac{a^2b^2c^2}{c^2a^2+a^2b^2-b^2c^2}$
5/ Cho $(a-2b)(2b-3c)(3c+a)$ khác $0$ và :
$\dfrac{a^2}{a-2b}+ \dfrac{4b^2}{2b-3c} + \dfrac{9c^2}{3c+a}$=$\dfrac{a^2}{3c-2b} + \dfrac{4b^2}{3c+a} + \dfrac{9c^2}{a-2b}$
Chứng minh rằng: $\dfrac{a}{6}$=$\dfrac{b}{-3}$=$\dfrac{c}{2}$
6/ Cho $a, b, c$ khác $0$ và $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}$=$\dfrac{1}{a+b+c}$.
Chứng minh rằng: $(a+b)(b+c)(c+a)$=0
7/ Cho $a, b, c$ khác $0$ và đôi một khác nhau thỏa:
$\dfrac{1}{a} - \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}$=$\dfrac{1}{a-b+c}$
Tính $a^3+c^3$
PHẦN II: BẤT ĐẲNG THỨC:
1/ C/m:
$\dfrac{(a+b)^2}{(a-b)^2} + \dfrac{(b+c)^2}{(b-c)^2} + \dfrac{(c+a)^2}{(c-a)^2}$ \geq $2$
2/ C/m:
$\dfrac{a^2+b^2}{(a-b)^2} + \dfrac{b^2+c^2}{(b-c)^2} + \dfrac{c^2+a^2}{(c-a)^2}$ \geq $\dfrac{5}{2}$
3/ C/m:
$\dfrac{ab}{(a-b)^2} + \dfrac{bc}{(b-c)^2} + \dfrac{ca}{(c-a)^2}$ \geq $\dfrac{-1}{4}$
4/ C/m:
$\dfrac{a^2+ab+b^2}{(a-b)^2} + \dfrac{b^2+bc+c^2}{(b-c)^2} + \dfrac{c^2+ca+a^2}{(c-a)^2}$ \geq $\dfrac{9}{4}$
5/ C/m:
$\dfrac{a^2-ab+b^2}{(a-b)^2} + \dfrac{b^2-bc+c^2}{(b-c)^2} + \dfrac{c^2-ca+a^2}{(c-a)^2}$ \geq $\dfrac{11}{4}$
P/s: đã sữa lại đề

 

[kienthuc_toanhoc]

1/ Tính giá trị biểu thức:
M=$\dfrac{4ab}{4a^2-b^2}$ với $4a^2+b^2$=$5ab$ và $4a>b>0$
Với bài này ta xử lí cái $4a^2+b^2$=$5ab$ trước
Ta có: $4a^2$+$b^2$-5ab=0
=>$4a^2$-4ab+$b^2$-ab=0
=>4a.(a-b)+b.(b-a)=0
=>(4a-b).(a-b)=0
vì 4a>b=>4a-b khác 0
=>a-b=0
=>a=b
Từ đây thế a bằng b vào biểu thức hoặc b bằng a vào biểu thức để tính.
3/ Cho $a, b, c$ khác $0$ thỏa: $a+b+c=0$. Tính:
S=$\dfrac{1}{a^2+b^2-c^2} + \dfrac{1}{b^2+c^2-a^2} + \dfrac{1}{c^2+a^2-b^2}$
Ta có a+b+c=0
=>a+b=-c
=>$(a+b)^2$=$c^2$(1)
Tương tự được
$(b+c)^2$=$a^2$(2)
$(a+c)^2$=$b^2$(3)
Thế từ (1),(2),(3) vào biểu thức dể dàng tính được kết quả của biểu thức đó bằng 0.
S=0.

 

[kienthuc_toanhoc]

2/ Cho $abc$ khác $0$ và $ab+bc+ca=0$, tính:
N=$\dfrac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}$
N=$\dfrac{b^2+ab+ac+bc}{abc}$
Theo gt ab+ac+bc=0
=>N=$\dfrac{b^2.(c+a)}{abc}$
=>N=$\dfrac{b.(c+a)}{ac}$
Vì ab+ac+bc=0
=>bc+ba=-ac
=>N=$\dfrac{bc+ba}{ac}$=$\dfrac{-ac}{ac}$=-1.
Các câu còn lại xem lại đề nhé bạn!Đề thiếu!

 

[phuong_july]

Đặt $x=\frac{a+b}{a-b}, y=\frac{b+c}{b-c}, z=\frac{c+a}{c-a}$
Chứng minh : $(x+1)(y+1)(z+1)=(x-1)(y-1)(z-1)$
Xong rồi rút gọn được: $xy‹ + yz+ xz=-1$
Ta có: $(x+y+z)^2$ \geq0
\Rightarrow $x^2+y^2+z^2$ \geq$-2(xy+yz+xz)=2$
\Rightarrow $dpcm$
p/s: Mình làm tắt.

 

[congchuaanhsang]

1/ C/m:
$\dfrac{(a+b)^2}{(a-b)^2} + \dfrac{(b+c)^2}{(b-c)^2} + \dfrac{(c+a)^2}{(c-a)^2}$ \geq $2$

Đặt $\dfrac{a+b}{a-b}=x$ ; $\dfrac{b+c}{b-c}=y$ ; $\dfrac{c+a}{c-a}=z$

Khi đó ta có: $(1+x)(1+y)(1+z)=(x-1)(y-1)(z-1)$

\Leftrightarrow $(1+x+y+xy)(1+z)=(xy-x-y+1)(z-1)$

\Leftrightarrow $1+z+x+y+xy+yz+xz+xyz=xyz-xy-yz-xz+x+y+z-1$

\Leftrightarrow $2(xy+yz+xz)=-2$

Lại có $x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+xz)=(x+y+z)^2+2$ \geq 2

\Leftrightarrow đpcm

 

[congchuaanhsang]

2/ C/m:
$\dfrac{a^2+b^2}{(a-b)^2} + \dfrac{b^2+c^2}{(b-c)^2} + \dfrac{c^2+a^2}{(c-a)^2}$ \geq $\dfrac{5}{2}$

Cộng 1 vào mỗi phân số ở bài 1 được:

$2(\dfrac{a^2+b^2}{(a-b)^2}+\dfrac{b^2+c^2}{(b-c)^2}+\dfrac{c^2+a^2}{(c-a)^2})$ \geq $5$

Chia cả 2 vế cho 2 ta được đpcm

 

[congchuaanhsang]

3/ C/m:
$\dfrac{ab}{(a-b)^2} + \dfrac{bc}{(b-c)^2} + \dfrac{ca}{(c-a)^2}$ \geq $\dfrac{-1}{4}$

Trừ mỗi phân số ở bài 1 đi 1 ta được:

$4(\dfrac{ab}{(a-b)^2}+\dfrac{bc}{(b-c)^2}+\dfrac{ca}{(c-a)^2})$ \geq $-1$

Chia cả 2 vế cho 4 ta được đpcm

 

[phuong_july]

Bài BDT 4 với 5 có vấn đề gì không thế bạn??? Bạn xem lại đề xem.
Sao cái phân thức cuối ở mẫu lại có 2 $c^2$ nhỉ?? Mất tính hoán vị.

 

[congchuaanhsang]

6/ Cho $a, b, c$ khác $0$ và $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}$=$\dfrac{1}{a+b+c}$.
Chứng minh rằng: $(a+b)(b+c)(c+a)$=0

$(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b})+(\dfrac{1}{c}-\dfrac{1}{a+b+c})=0$

\Leftrightarrow $\dfrac{a+b}{ab}+\dfrac{a+b}{c^2+ca+cb}=0$

\Leftrightarrow $(a+b)(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{c^2+ca+cb}=0$

\Leftrightarrow $(a+b)(\dfrac{(b+c)(c+a)}{ab(c^2+ca+cb)})=0$

\Leftrightarrow $(a+b)(b+c)(c+a)=0$

 

[riverflowsinyou1]

lớp 8 có rất nhều bài toán hay, minh xin giới thiệu với mấy bạn vài dạng cơ bản khi học nâng cao
PHẦN I: BIẾN ĐỔI ĐẠI SỐ:
1/ Tính giá trị biểu thức:
M=$\dfrac{4ab}{4a^2-b^2}$ với $4a^2+b^2$=$5ab$ và $4a>b>0$
2/ Cho $abc$ khác $0$ và $ab+bc+ca=0$, tính:
N=$\dfrac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}$
3/ Cho $a, b, c$ khác $0$ thỏa: $a+b+c=0$. Tính:
S=$\dfrac{1}{a^2+b^2-c^2} + \dfrac{1}{b^2+c^2-a^2} + \dfrac{1}{c^2+a^2-b^2}$
4/ Cho $a, b, c$ khác $0$ thỏa $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}$=$0$. Tính:
H=$\dfrac{a^2b^2c^2}{a^2b^2+b^2c^2-c^2a^2} + \dfrac{a^2b^2c^2}{b^2c^2+c^2a^2-a^2b^2} + \dfrac{a^2b^2c^2}{c^2a^2+a^2b^2-b^2c^2}$
5/ Cho $(a-2b)(2b-3c)(3c+a)$ khác $0$ và :
$\dfrac{a^2}{a-2b}+ \dfrac{4b^2}{2b-3c} + \dfrac{9c^2}{3c+a}$=$\dfrac{a^2}{3c-2b} + \dfrac{4b^2}{3c+a} + \dfrac{9c^2}{a-2b}$
Chứng minh rằng: $\dfrac{a}{6}$=$\dfrac{b}{-3}$=$\dfrac{c}{2}$
6/ Cho $a, b, c$ khác $0$ và $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}$=$\dfrac{1}{a+b+c}$.
Chứng minh rằng: $(a+b)(b+c)(c+a)$=0
7/ Cho $a, b, c$ khác $0$ và đôi một khác nhau thỏa:
$\dfrac{1}{a} - \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}$=$\dfrac{1}{a-b+c}$
Tính $a^3+c^3$
PHẦN II: BẤT ĐẲNG THỨC:
1/ C/m:
$\dfrac{(a+b)^2}{(a-b)^2} + \dfrac{(b+c)^2}{(b-c)^2} + \dfrac{(c+a)^2}{(c-a)^2}$ \geq $2$
2/ C/m:
$\dfrac{a^2+b^2}{(a-b)^2} + \dfrac{b^2+c^2}{(b-c)^2} + \dfrac{c^2+a^2}{(c-a)^2}$ \geq $\dfrac{5}{2}$
3/ C/m:
$\dfrac{ab}{(a-b)^2} + \dfrac{bc}{(b-c)^2} + \dfrac{ca}{(c-a)^2}$ \geq $\dfrac{-1}{4}$
4/ C/m:
$\dfrac{a^2+ab+b^2}{(a-b)^2} + \dfrac{b^2+bc+c^2}{(b-c)^2} + \dfrac{c^2+ca+c^2}{(c-a)^2}$ \geq $\dfrac{9}{4}$
5/ C/m:
$\dfrac{a^2-ab+b^2}{(a-b)^2} + \dfrac{b^2-bc+c^2}{(b-c)^2} + \dfrac{c^2-ca+c^2}{(c-a)^2}$ \geq $\dfrac{11}{4}$
nghỉ tí, lát đăng tiếp

4) $VT=3+\sum \frac{3ab}{(a-b)^2}$
\Rightarrow $\frac{VT}{3}=1+\sum \frac{ab}{(a-b)^2}$ \geq $1-0,25=\frac{3}{4}$
\Rightarrow $VT$ \geq $\frac{9}{4}$

 

[su10112000a]

Phần hình học:
MỘT SỐ BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ THUẬT SỬ DỤNG ĐỊNH LÝ MENELAUS:
Xem thêm cách chứng minh ở đây:http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?t=363238
BÀI TẬP:
Bài 1:
Cho tam giác ABC có I là trung điểm AC, K thuộc cạnh AB sao cho $BK = 2KA$. Đường thẳng IK cắt đường thẳng BC tại H. Tính $\dfrac{HI}{HK}$
Bài 2:
Cho tam giác ABC co1 cạnh $AB = c$, $AC = b$, có đường phân giác AD cắt đường trung tuyến CM tại I. Tính các tỉ số $\dfrac{CD}{CB}$ và $\dfrac{IA}{ID}$
Bài 3:
Cho hình bình hành ABCD. Trên cạnh AB, BC, CD, DA lấy các điểm G, F, H, E sao cho $AB//EF//CD$ và $AD//GH//BC$. Gọi I là giao điểm của EF và GH: K là giao điểm của AF và CG. Chứng minh D, I, K thẳng hàng.