các câu khó trong kì thi tuyển sinh THPT

[embecuao]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Câu 1. Cho 36 số tự nhiên [TEX]a_1, a_2, a_3, ... , a_36[/TEX] thỏa mãn điều kiện [TEX]\frac{1}{\sqrt{a_1}} + \frac{1}{\sqrt{a_2}} + \frac{1}{\sqrt{a_3}} + ... + \frac{1}{\sqrt{a_35}} = 11[/TEX]
Chứng minh rằng trong 36 số tự nhiên đó tồn tại 2 số bằng nhau

Câu 2. Cho các số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện a+b+c=1. Chứng minh: [TEX]\frac{a^2}{b+c} + \frac{b^2}{a+c} + \frac{c^2}{a+b} \geq \frac{1}{2}[/TEX]

Câu 3. Cho các số a,b,c thỏa mãn c<0, a<b và phương trình [TEX]ax^2 + bx + c = 0[/TEX] vô nghiệm. Chứng minh rằng: [TEX]\frac{a+b+c}{b-a} > 3[/TEX]

Câu 4.
1, Cho x>0, y>0 và x+y [TEX]\geq [/TEX] 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P= 3x + [TEX]\frac{6}{x} + \frac{8}{y}[/TEX] + 2y

2, Chứng minh:
[TEX]1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + ... + \frac{1}{\sqrt{24}} >8[/TEX]

Câu 5. Cho [TEX]x= \frac{1}{2}(\sqrt{\frac{a}{b}} + \sqrt{\frac{b}{a}})[/TEX] trong đó a>0, b>0. Tính giá trị của biểu thức:
A= [TEX]\frac{2 \sqrt{x^2 -1}}{x- \sqrt{x^2 -1}}[/TEX]

 

[toiyeu9a3]

2. AD bđt Cauchy-schwarz ta có:
$\dfrac{a^2}{b + c} + \dfrac{b^2}{a + c} + \dfrac{c^2}{b + a}$
\geq $\dfrac{(a + b + c)^2}{2(a + b + c)}$
= $\dfrac{1}{2}$

 

[toiyeu9a3]

3. Đã giải tai đây: http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?t=370023

 

[toiyeu9a3]

4. $3x + \dfrac{6}{x} + \dfrac{8}{y} + 2y$
= $\dfrac{3}{2}x + \dfrac{6}{x} + \dfrac{8}{y} + \dfrac{1}{2}y + \dfrac{3}{2}(x + y)$
\geq $2.3 + 2.2 + \dfrac{3}{2}.6$ = 19
Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow$\dfrac{3}{2}x = \dfrac{6}{x}$; $\dfrac{8}{y} = \dfrac{1}{2}y$ và x + y =6 \Leftrightarrow x = 2; y=4

 

[congchuaanhsang]

2, Chứng minh:
[TEX]1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + ... + \frac{1}{\sqrt{24}} >8[/TEX]

Xét dạng tổng quát với $n \in N*$

$\dfrac{1}{\sqrt{n}}=\dfrac{2}{2\sqrt{n}} > \dfrac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}$

\Leftrightarrow $\dfrac{1}{\sqrt{n}} > 2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})$

Cho n chạy từ 1 đến 24 được

$VT > 2(\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+.....+\sqrt{25}-\sqrt{24})$

\Leftrightarrow $VT > 2(\sqrt{25}-\sqrt{1})=8$

 

[congchuaanhsang]

Câu 2. Cho các số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện a+b+c=1. Chứng minh: [TEX]\frac{a^2}{b+c} + \frac{b^2}{a+c} + \frac{c^2}{a+b} \geq \frac{1}{2}[/TEX]

Áp dụng Cauchy 2 số:

$\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b+c}{4} \ge a$

$\dfrac{b^2}{a+c}+\dfrac{a+c}{4} \ge b$

$\dfrac{c^2}{a+b}+\dfrac{a+b}{4} \ge c$

Cộng từng vế:

$\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{a+c}+\dfrac{c^2}{a+b} \ge \dfrac{a+b+c}{2}=\dfrac{1}{2}$

 

[eye_smile]

1.G/s trong 35 số không có số nào bằng nhau
--->G/s $a_1<a_2<a_2<...<a_{35}$
\Rightarrow $a_1 \ge 1;a_2 \ge 2;a_3 \ge 3; ....;a_{35} \ge 35$
\Rightarrow $\dfrac{1}{\sqrt{a_1}}+\dfrac{1}{\sqrt{a_2}}+ \dfrac{1}{\sqrt{a_3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{a_{35}}} < 2\sqrt{36}-1=11$

\Rightarrow ktm

\Rightarrow đpcm

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 2:

$VT=\sum \dfrac{a^2}{1-a}$

$\dfrac{x^2}{1-x}\ge \dfrac{5}{4}x-\dfrac{1}{4}$

$\leftrightarrow 4x^2 \ge (5x-1)(1-x)$

$\leftrightarrow (3x-1)^2 \ge 0\;\;$ (đúng)

Vậy $\dfrac{x^2}{1-x} \ge \dfrac{5}{4}x-\dfrac{1}{4}$ với mọi $x\in \mathbb{R}$

Áp dụng vào:

$VT \ge \dfrac{5}{4}(\sum a)-\dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{2}$

 

[transformers123]

Áp dụng Cauchy 2 số:

$\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b+c}{4} \ge a$

$\dfrac{b^2}{a+c}+\dfrac{a+c}{4} \ge b$

$\dfrac{c^2}{a+b}+\dfrac{a+b}{4} \ge c$

Cộng từng vế:

$\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{a+c}+\dfrac{c^2}{a+b} \ge \dfrac{a+b+c}{2}=\đfrac{1}{2}$

theo đề bài, ta cần chứng minh:
$\sum \dfrac{a^2}{1-a} \ge \dfrac{1}{2}$
thật vậy, ta có:
$\sum \dfrac{a^2}{1-a} \ge \dfrac{(a+b+c)^2}{3-a-b-c} = \dfrac{1^2}{3-2} = \dfrac{1}{2}$
dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$