- 27 Tháng mười 2018
- 3,742
- 3,706
- 561
- Hà Nội
- Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Đây là một bài chia sẻ, mình sẽ đi vào ví dụ, và trình bày cụ thể từ đầu đến cuối suy nghĩ, lập luận của mình cho một số bài toán. Các bước giải mình chỉ hoàn toàn vận dụng kiến thức cơ bản về đạo hàm, cực trị để giải. Các bạn trong quá trình học tập, nếu chưa làm như mình thì hãy thử làm theo mình, mình nghĩ đây là cách học giải bài tập tốt nhất nếu các bạn muốn chinh phục VDC.
1.
Gặp bài có tham số m mà chắc chắn không phân tích nhân tử được rồi, vậy mình phải cô lập m và x. Tất nhiên mình sẽ chia [TEX]x^3-3x^2+5[/TEX] . Nhưng về cơ bản, muốn chia 2 vế của BPT cho 1 biểu thức, ta phải xem nó dương hay âm.
Từ đây mình bấm casio, thấy [TEX]x^3-3x^2+5=0[/TEX] có nghiệm [TEX]x=-1,...[/TEX], nằm ngoài khoảng [-1;3] rồi, vậy là thằng này luôn dương với x thuộc [-1;3]. Vậy ngon quá, chia luôn không phải lo về dấu:
[tex]m\leq \frac{f(x)}{x^3-3x^2+5}=g(x)[/tex]
Theo đề, bpt này phải có nghiệm x thuộc đoạn [-1;3]. Như vậy [tex]m\leq maxg(x),x\epsilon [-1;3][/tex]
Lưu ý là [TEX]m \leq max[/TEX] chứ không phải [TEX]m \leq min[/TEX], vì đầu đề người ta chỉ cần là có nghiệm, chứ không cần luôn đúng với mọi x. Nếu là luôn đúng, thì [TEX]m \leq ming(x)[/TEX]
Vậy luồng suy nghĩ là:
BPT này không phân tích được => Cần cô lập => Cần chắc chắn về dấu để cô lập => Cô lập xong => tìm max g(x)
Đến bước này rồi ta mới nhìn kỹ cái BBT để bắt đầu suy nghĩ cách tìm max. Chứ ngay từ đầu bạn đừng có chăm chú vào cái BBT này, nó làm rối suy nghĩ mà ko giải quyết được việc gì.
Tiếp, tìm max thì đương nhiên mình nghĩ đến đầu tiên là đạo hàm rồi lập được BBT rồi. Tuy nhiên rất không ổn. Nếu ta đạo hàm g(x), ta được:
[tex]g'(x)=\frac{f'(x)(x^3-3x^2+5)-(3x^2-6x)f(x)}{(x^3-3x^2+5)^2}[/tex]
Chẳng thể nào giải nổi nghiệm cái [TEX]g'(x)[/TEX] này rồi xét dấu. À...vậy người ra đề hẳn ý cho mình làm theo cách khác. Nghĩ đơn giản hơn, thì có 1 thứ rất cơ bản từ cấp 2 ta đã được học, mà đến giờ chắc ít bài có cơ hội áp dụng. Đó là: g(x) là 1 phân số, cả tử và mẫu của nó đều dương. Vậy hiển nhiên nó sẽ max khi mà tử đạt max và mẫu thì đạt min tại cùng 1 giá trị x.
Như vậy, để bấu vào cách làm này, rõ ràng f(x) max = 3 tại x=2. Như vậy ta thử luôn xem cái mẫu số có đúng là đạt min tại x=2 không. Nếu không thì cách này thất bại.
Đạo hàm lập BBT cho [TEX]x^3-3x^2+5[/TEX] trên đoạn [-1;3], ta nhận thấy nó đạt min =1 tại x=2 luôn, ô thế là xong rồi. Ta suy ra [TEX]maxg(x)=3/1=3[/TEX]=>[TEX]m \leq 3[/TEX]. Vì đề hỏi số giá trị nguyên dương nên ta chọn A.
Trong trường hợp mà cái điều mình kì vọng trên nó không xảy ra thì sao? Thì ta nên bỏ qua, khoanh lụi đi. Cách dị và cao siêu quá thì không biết đâu.
2.
1 ví dụ nữa. Theo đúng như cách làm đầu tiên, mình xem đề hỏi max và min. Vậy lại kì vọng đạo hàm lập được BBT rồi. Còn cái BPT kia cứ kệ xừ nó đấy, chưa quan tâm.
[TEX]f'(x)[/TEX] đã có sẵn là đồ thị kia rồi. Khi lập BBT của f(x), cái mà ta quan tâm là dấu của [TEX]f'(x)[/TEX], còn f'(x) uốn lượn trên đồ thị thế nào thì kệ nó.
Ta thấy (-1;1) [TEX]f'(x)<0[/TEX], (1;2) thì [TEX]f'(x)>0[/TEX]. [TEX]f'(x)=0[/TEX] tại x=1.
Như vậy rõ ràng f(1) là điểm thấp nhất trong BBT này. Nhưng còn f(-1) và f(2) thì thấy 2 thằng cao cao như nhau. Vậy thằng nào hơn?
Giờ mới nhìn lại, còn 1 dữ kiện nữa chưa dùng, chắc không phải cho cho vui. [TEX]f(-1)+f(0)<f(1)+f(2)[/TEX](1)
Mà ta cần so sánh [TEX]f(-1)[/TEX] và [TEX]f(2)[/TEX], giá mà biết được [TEX]f(-1)-f(2)[/TEX] dương hay âm, thì ta lập tức so sánh được chúng.
Từ (1) ta có: [TEX]f(-1)-f(2)<f(1)-f(0)[/TEX]
Đến đây tiếp tục, ta cần xét được dấu của [TEX]f(1)-f(0)[/TEX]. À, thì ta thấy trong (-1;1) hàm NB nên f(1)<f(0), hay [TEX]f(1)-f(0)<0=>f(-1)-f(2)<f(1)-f(0)<0=> f(-1)<f(2)[/TEX]
Vậy ta suy ra f(2) là max. Bài toán được giải!
Đây là các bước đi theo suy nghĩ tự nhiên và kiến thức cơ bản, giúp mình giải được các bài toán vận dụng. Chúc các bạn học tốt!
1.
Gặp bài có tham số m mà chắc chắn không phân tích nhân tử được rồi, vậy mình phải cô lập m và x. Tất nhiên mình sẽ chia [TEX]x^3-3x^2+5[/TEX] . Nhưng về cơ bản, muốn chia 2 vế của BPT cho 1 biểu thức, ta phải xem nó dương hay âm.
Từ đây mình bấm casio, thấy [TEX]x^3-3x^2+5=0[/TEX] có nghiệm [TEX]x=-1,...[/TEX], nằm ngoài khoảng [-1;3] rồi, vậy là thằng này luôn dương với x thuộc [-1;3]. Vậy ngon quá, chia luôn không phải lo về dấu:
[tex]m\leq \frac{f(x)}{x^3-3x^2+5}=g(x)[/tex]
Theo đề, bpt này phải có nghiệm x thuộc đoạn [-1;3]. Như vậy [tex]m\leq maxg(x),x\epsilon [-1;3][/tex]
Lưu ý là [TEX]m \leq max[/TEX] chứ không phải [TEX]m \leq min[/TEX], vì đầu đề người ta chỉ cần là có nghiệm, chứ không cần luôn đúng với mọi x. Nếu là luôn đúng, thì [TEX]m \leq ming(x)[/TEX]
Vậy luồng suy nghĩ là:
BPT này không phân tích được => Cần cô lập => Cần chắc chắn về dấu để cô lập => Cô lập xong => tìm max g(x)
Đến bước này rồi ta mới nhìn kỹ cái BBT để bắt đầu suy nghĩ cách tìm max. Chứ ngay từ đầu bạn đừng có chăm chú vào cái BBT này, nó làm rối suy nghĩ mà ko giải quyết được việc gì.
Tiếp, tìm max thì đương nhiên mình nghĩ đến đầu tiên là đạo hàm rồi lập được BBT rồi. Tuy nhiên rất không ổn. Nếu ta đạo hàm g(x), ta được:
[tex]g'(x)=\frac{f'(x)(x^3-3x^2+5)-(3x^2-6x)f(x)}{(x^3-3x^2+5)^2}[/tex]
Chẳng thể nào giải nổi nghiệm cái [TEX]g'(x)[/TEX] này rồi xét dấu. À...vậy người ra đề hẳn ý cho mình làm theo cách khác. Nghĩ đơn giản hơn, thì có 1 thứ rất cơ bản từ cấp 2 ta đã được học, mà đến giờ chắc ít bài có cơ hội áp dụng. Đó là: g(x) là 1 phân số, cả tử và mẫu của nó đều dương. Vậy hiển nhiên nó sẽ max khi mà tử đạt max và mẫu thì đạt min tại cùng 1 giá trị x.
Như vậy, để bấu vào cách làm này, rõ ràng f(x) max = 3 tại x=2. Như vậy ta thử luôn xem cái mẫu số có đúng là đạt min tại x=2 không. Nếu không thì cách này thất bại.
Đạo hàm lập BBT cho [TEX]x^3-3x^2+5[/TEX] trên đoạn [-1;3], ta nhận thấy nó đạt min =1 tại x=2 luôn, ô thế là xong rồi. Ta suy ra [TEX]maxg(x)=3/1=3[/TEX]=>[TEX]m \leq 3[/TEX]. Vì đề hỏi số giá trị nguyên dương nên ta chọn A.
Trong trường hợp mà cái điều mình kì vọng trên nó không xảy ra thì sao? Thì ta nên bỏ qua, khoanh lụi đi. Cách dị và cao siêu quá thì không biết đâu.
2.
1 ví dụ nữa. Theo đúng như cách làm đầu tiên, mình xem đề hỏi max và min. Vậy lại kì vọng đạo hàm lập được BBT rồi. Còn cái BPT kia cứ kệ xừ nó đấy, chưa quan tâm.
[TEX]f'(x)[/TEX] đã có sẵn là đồ thị kia rồi. Khi lập BBT của f(x), cái mà ta quan tâm là dấu của [TEX]f'(x)[/TEX], còn f'(x) uốn lượn trên đồ thị thế nào thì kệ nó.
Ta thấy (-1;1) [TEX]f'(x)<0[/TEX], (1;2) thì [TEX]f'(x)>0[/TEX]. [TEX]f'(x)=0[/TEX] tại x=1.
Như vậy rõ ràng f(1) là điểm thấp nhất trong BBT này. Nhưng còn f(-1) và f(2) thì thấy 2 thằng cao cao như nhau. Vậy thằng nào hơn?
Giờ mới nhìn lại, còn 1 dữ kiện nữa chưa dùng, chắc không phải cho cho vui. [TEX]f(-1)+f(0)<f(1)+f(2)[/TEX](1)
Mà ta cần so sánh [TEX]f(-1)[/TEX] và [TEX]f(2)[/TEX], giá mà biết được [TEX]f(-1)-f(2)[/TEX] dương hay âm, thì ta lập tức so sánh được chúng.
Từ (1) ta có: [TEX]f(-1)-f(2)<f(1)-f(0)[/TEX]
Đến đây tiếp tục, ta cần xét được dấu của [TEX]f(1)-f(0)[/TEX]. À, thì ta thấy trong (-1;1) hàm NB nên f(1)<f(0), hay [TEX]f(1)-f(0)<0=>f(-1)-f(2)<f(1)-f(0)<0=> f(-1)<f(2)[/TEX]
Vậy ta suy ra f(2) là max. Bài toán được giải!
Đây là các bước đi theo suy nghĩ tự nhiên và kiến thức cơ bản, giúp mình giải được các bài toán vận dụng. Chúc các bạn học tốt!
