Các bài toàn về độ dài lớn nhất và nhỏ nhất

[tamok12]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

B1:Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh C(-2,-4), và trọn tâm G(0,4). Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Giả sử M di động trên đường thẳng d: x + y -2 =0. Tìm quỹ tích điểm B. Xác định M để độ dài cạnh AB là ngắn nhất
B2:Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A (4,1). d cắt trục Ox, Oy lần lượt tại M,N sao cho 1/(OM) (mũ 2) + 1/(ON) ( mũ 2) nhỏ nhất.
B3: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M(9,1) cắt các tia Ox, Oy lần lượt tai A và B sao cho độ dài đoạn AB nhỏ nhất.

 

[doigiaythuytinh]

1.
[TEX]M \in (d) \Rightarrow M(a; 2-a)[/TEX]
M là trung điểm BC => [TEX]B(2a+2; 8-2a)[/TEX]
[TEX]G(0;-4)[/TEX] là trọng tâm tg ABC => [TEX]A(-2a; 12+2a)[/TEX]
[TEX]\Rightarrow AB^2 = (4a+2)^2 +(-4-4a)^2 = 32a^2 +48a +20 =f(a)[/TEX]
[TEX]f'(a) = 64a+48=0 \Leftrightarrow a=\frac{-4}{3}[/TEX]
* Vậy: AB ngắn nhất khi [TEX]AB^2[/TEX] có độ dài nhỏ nhất [TEX]\Leftrightarrow M(\frac{-4}{3}; \frac{10}{3})[/TEX]

2.
Giả sử d cắt Ox tại M(a,0); cắt Oy tại N(0;b)
[TEX]\Rightarrow ptdt d dang: \frac{x}{a} +\frac{y}{b} =1[/TEX]
[TEX]A(4;1) \in d \Rightarrow : ptdt \ (d): \frac{4}{a} +\frac{1}{b} =1][/TEX]

[TEX]\frac{1}{OM^2} +\frac{1}{ON^2} = \frac{1}{a^2} +\frac{1}{b^2}[/TEX]

[TEX]1= (\frac{4}{a} +\frac{1}{b}[/TEX]

[TEX]1= (\frac{4}{a} +\frac{1}{b})^2 \leq (4^2+1^2)(\frac{1}{a^2} +\frac{1}{b^2}) = 17(\frac{1}{a^2} +\frac{1}{b^2}) \\ \Rightarrow \frac{1}{a^2} +\frac{1}{b^2} \geq \frac{1}{17}[/TEX]

[TEX]Dau \ \ '='\Leftrightarrow a=\frac{17}{4}; b=17[/TEX]

=> Ptdt (d): [TEX]\frac{4x}{17} +\frac{y}{17} =1 \ \ or: 4x+y-17=0[/TEX]