Các bài toán về chứng minh bất đẳng thức

[thuytrangnbk20]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1) Cho a>b>c>0. CMR:

$\dfrac{1}{b+c}$ + $\dfrac{1}{a+c}$ + $\dfrac{1}{a+b}$ > $\dfrac{3}{a+b+c}$

2) Cho 3 số dương a, b, c. Chứng minh:

(1+$\dfrac{a}{b}$)(1+$\dfrac{b}{c}$)(1+$\dfrac{c}{a}$) \geq 8

3) Cho x>0, y>0, x+y \leq 1. Chứng minh:

$\dfrac{1}{x^2+xy}$ + $\dfrac{1}{y^2+xy}$ \geq 4

4) Cho a>c, b>c, c>0. Chứng minh: $a^2$+ $b^2$ + $c^2$ \leq 6

5) Cho -1 \leq a,b,c \leq 2 và a+b+c = 0. Chứng minh: $a^2$ + $b^2$ + $c^2$ \leq 6

 

[hien_vuthithanh]

2/

2/ $1+\dfrac{a}{b} $ \geq 2 $\sqrt{\dfrac{a}{b}}$

TT nhân theo vế \Rightarrow $(1+\dfrac{a}{b})(1+\dfrac{b}{c})(1+\dfrac{c}{a})$ \geq $8$

\Rightarrow dpcm

Dấu = \Leftrightarrow a=b=c >0

3/ Xem tại đây

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 5. $(a+1)(a-2)\le 0 \leftrightarrow a^2\le a+2$
Tương tự ta có $b^2\le b+2$ và $c^2\le c+2$ nên $a^2+b^2+c^2\le a+b+c+6=6$
Ăn vặt đã :v

 

[vipboycodon]

Câu 1:
Cách 1:
Ta có: $a+b < a+b+c \rightarrow \dfrac{1}{a+b} > \dfrac{1}{a+b+c}$
$b+c < a+b+c \rightarrow \dfrac{1}{b+c} > \dfrac{1}{a+b+c}$
$a+c < a+b+c \rightarrow \dfrac{1}{a+c} > \dfrac{1}{a+b+c}$
Cộng vế với vế ta có đpcm

Cách 2:
Xét hiệu: $\dfrac{1}{a+b}-\dfrac{1}{a+b+c}+\dfrac{1}{b+c}-\dfrac{1}{a+b+c}+\dfrac{1}{a+c}-\dfrac{1}{a+b+c} $

= $\dfrac{c}{(a+b)(a+b+c)}+\dfrac{a}{(b+c)(a+b+c)}+ \dfrac{c}{(a+c)(a+b+c)} > 0$
$\rightarrow$ đpcm