các bài toán nâng cao

[phuonguyen8athd]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1) cho x= [TEX] \sqrt[3]{\sqrt{2}-1}[/TEX] - [TEX]\frac{1}{\sqrt[3]{\sqrt{2}-1}}[/TEX]
tính P= [TEX]x^3[/TEX]+3x+2

2) a) rút gọn M= [TEX]\frac{8\sqrt{4}}{\sqrt{45+4\sqrt{41}}+\sqrt{45-4\sqrt{41}}}[/TEX]
b) c/m [TEX]\sqrt{2+\sqrt{3}}[/TEX]=[TEX]\frac{\sqrt{6}}{2}[/TEX]+[TEX]\frac{\sqrt{2}}{2}[/TEX]

3) giải pt
a) [TEX]\sqrt{x^2-x-2}[/TEX]-[TEX]\sqrt{x-2}[/TEX]=0
b) [TEX]\sqrt{x^2-1}[/TEX]+1=[TEX]x^2[/TEX]
c) [TEX]\sqrt{x^2-x[/TEX]+[TEX]\sqrt{x^2+x-2}[/TEX]=0

4) tính [TEX]x^2[/TEX]+[TEX]y^2[/TEX] biết x[TEX]\sqrt{1-y^2}[/TEX]+y[TEX]\sqrt{1-x^2}[/TEX]=1

5) cho a,b,c>0 c/m [TEX]\sqrt{\frac{a}{b+c}}[/TEX]+[TEX]\sqrt{\frac{b}{a+c}}[/TEX]+[TEX]\sqrt{\frac{c}{a+b}}[/TEX]>2

 

[hotien217]

mình giải bài 3
a.$\sqrt{x^2-x-2}-\sqrt{x-2}=0$
\Leftrightarrow$\sqrt{(x+1)(x-2)}-\sqrt{x-2}=0$(áp dụng định lí Vi-ét)
\Leftrightarrow$\sqrt{x-2}.(\sqrt{x+1}-1)=0$
\Leftrightarrow x=2 hoặc x=0(loại)
b.$\sqrt{x^2-1}+1=x^2$
\Leftrightarrow$x^2-\sqrt{x^2-1}-1=0$
\Leftrightarrow$x^2-1-2.\sqrt{x^2-1}.\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}=0$
\Leftrightarrow$(\sqrt{x^2-1}-\dfrac{1}{2})^2-\dfrac{1}{4}=0$
\Leftrightarrow$(\sqrt{x^2-1}-\dfrac{1}{2})^2=\dfrac{1}{4}$
\Leftrightarrow$\sqrt{x^2-1}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}$
\Leftrightarrow$\sqrt{x^2-1}=1$\Leftrightarrow$x^2-1=1$
\Leftrightarrow$x^2-2=0$\Leftrightarrow$x=\sqrt{2}$ hoặc $x=-\sqrt{2}$
c.$\sqrt{x^2-x}+\sqrt{x^2+x-2}=0$
\Leftrightarrow$\sqrt{x(x-1)}+\sqrt{(x-1)(x+2)}=0$
\Leftrightarrow$\sqrt{x-1}(\sqrt{x}+\sqrt{x+2})=0$
vì $\sqrt{x}+\sqrt{x+2}>0$
\Rightarrow$\sqrt{x-1}=0$\Leftrightarrow$x=1$

 

[chungthuychung]

CÂu 4

Theo bất đẳng thức bunhia. ta có
(x$\sqrt[2]{1-y^2}$+y$\sqrt[2]{1-x^2}$)^2 \leq (x^2+y^2)(1-y^2+1-x^2)
Đặt x^2+y^2=a . Ta có
1^2 \leq a(2-a) =>(a-1)^2 \leq 0
Hay a=1
Nên x^2+y^2=1

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 5:

$VT = \sum \dfrac{a}{\sqrt{a(b+c)}} \ge\sum \dfrac{2a}{a+b+c}=2$

Bài 3:

(b) $\sqrt{x^2-1}=x^2-1 \leftrightarrow x=\pm 1$

 

[chungthuychung]

Câu 5

Áp dụng bdt cô si. ta có
$\sqrt[2]{(b+c/a.)1}$ \leq [(b+c)/a +1]:2=(b+c+a)/2a
=>$\sqrt[2]{a/b+c}$ \geq 2a/(a+b+c)
Tương tự $\sqrt[2]{b/a+c}$ \geq 2b/(a+b+c)
$\sqrt[2]{c/a+b}$ \geq 2c/(a+b+c)
Cộng vế theo vế ta được biểu thức cần chứng minh \geq 2
dấu bằng xảy ra khi a+b+c=0 trái với giả thiết => dáu bằng k xảy ra
Vậy biểu thức cần chứng minh > 2

 

[hotien217]

bài 2
a. M= $\dfrac{8\sqrt{4}}{\sqrt{45+4\sqrt{41}}+\sqrt{45-4\sqrt{41}}}$
= $\dfrac{8\sqrt{4}}{(\sqrt{2+\sqrt{41})^2}+\sqrt{(2-\sqrt{41})^2}}$
= $\dfrac{8\sqrt{4}}{2+\sqrt{41}+2-\sqrt{41}}$
=$\dfrac{8\sqrt{4}}{4}$=$2\sqrt{4}$
b.CMR: $\sqrt{2+\sqrt{3}}$=$\dfrac{\sqrt{6}}{2}$+$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

VP=$\dfrac{\sqrt{6}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
=$\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$=$\dfrac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}$
=$\sqrt{\dfrac{(\sqrt{3}+1)^2}{2}}$=$\sqrt{\dfrac{4+2\sqrt{3}}{2}}$
=$\sqrt{2+\sqrt{3}}$
\RightarrowQ.E.D

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 1:

Xét đẳng thức $\left (a-\dfrac{1}{a} \right)^3+3\left (a-\dfrac{1}{a} \right)=a^3-\dfrac{1}{a^3}$

$a=\sqrt[3]{\sqrt{2}-1} \to x=a-\dfrac{1}{a}$

$x^3+3x + 2 = a^3-\dfrac{1}{a^3}+2=\sqrt{2}-1+\dfrac{1}{\sqrt{2}-1}+2\\
=2+2\sqrt{2}$