- 24 Tháng mười 2018
- 1,616
- 1,346
- 216
- 24
- TP Hồ Chí Minh
- Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP Hồ Chí Minh
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Loại 1: Điều kiện để hàm số [tex]y=f(x)[/tex] có cực trị.
phương trình [tex]f'(x)=0[/tex] có ít nhất 1 nghiệm phân biệt trở lên và là nghiệm đơn hoặc bội lẻ.
một số trường hợp [tex]f'(x)=0[/tex] vô nghiệm nhưng vẫn có cực trị tại điểm mà hàm số không có đạo hàm.
Loại 2: Điều kiện để một điểm là cực trị của hàm số.
Cho hàm số [tex]y=f(x)[/tex] và điểm [tex]M(x_0;y_0)[/tex] thuộc đồ thị của hàm số là điểm cực trị thì [tex]f'(x_0)=0[/tex].
+ nếu [tex]\left\{\begin{matrix} f'(x_0)=0\\ f''(x_0)<0 \end{matrix}\right.[/tex] thì M là điểm cực đại của đồ thị hàm số.
+ nếu [tex]\left\{\begin{matrix} f'(x_0)=0\\ f''(x_0)>0 \end{matrix}\right.[/tex] thì M là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.
Loại 3: Đường thẳng đi qua các điểm cực trị của hàm số.
Xét với hàm số đa thức bậc 3: [tex]y=ax^3+bx^2+cx+d[/tex] có đạo hàm [tex]y'=3ax^2+2bx+c[/tex]
Lấy y chia y', ta được:
[tex]y=\left ( \frac{1}{3}x+\frac{b}{9a} \right ).y'+\left ( \frac{2c}{3}-2\frac{b^2}{9a} \right )x+d-\frac{bc}{9a}[/tex]
hàm số đạt cực trị tại [tex]x_1,x_2[/tex] nên [tex]y'(x_1)=y'(x_2)=0[/tex]. ta có:
[tex]\left\{\begin{matrix} y(x_1)=\left ( \frac{2c}{3}-2\frac{b^2}{9a} \right )x_1+d-\frac{bc}{9a}\\ y(x_2)=\left ( \frac{2c}{3}-2\frac{b^2}{9a} \right )x_2+d-\frac{bc}{9a} \end{matrix}\right.[/tex]
do đó 2 điểm cực trị nằm trên đường thẳng [tex]y=\left ( \frac{2c}{3}-2\frac{b^2}{9a} \right )x+d-\frac{bc}{9a}[/tex]
Lưu ý: Với các hoành độ cực trị không phụ thuộc tham số thì ta không cần thiết phải làm theo
cách này, nhưng có chứa tham số thì đây là lựa chọn khôn ngoan.
Loại 4: Các điểm cực trị thỏa mãn một điều kiện chẳng hạn lập thành tam giác vuông, tam giác
đều,...Lúc này chúng ta dựa vào tính chất của tam giác.
Dạng toán : Liên quan đến điều kiện tồn tại cực, cực tiểu- tọa độ cực trị.
Phương pháp :
- Để hàm số bậc 3 có cực trị khi và chỉ khi phương trình y'=0 có hai nghiệm phân biệt.
- Một điểm [tex]x_0[/tex] là điểm cực tiểu của hàm số thì [tex]\left\{\begin{matrix} f'(x_0)=0\\ f''(x_0)>0 \end{matrix}\right.[/tex] cần phải thử lại xem y' có đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua [tex]x_0[/tex] hay không.
- Một điểm [tex]x_0[/tex] là điểm cực đại của hàm số thì [tex]\left\{\begin{matrix} f'(x_0)=0\\ f''(x_0)<0 \end{matrix}\right.[/tex] cần phải thử lại xem y' có đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua [tex]x_0[/tex] hay không.
Đặc biệt :
- Hai điểm cực trị nằm khác phía với trục tung thì pt y'=0 có hai nghiệm trái dấu.
Hai điểm cực trị nằm khác phía đối với trục hoành thì [tex]y_{CD}.y_{CT}<0[/tex] hoặc phương trình y =0 có
ba nghiệm phân biệt.
phương trình [tex]f'(x)=0[/tex] có ít nhất 1 nghiệm phân biệt trở lên và là nghiệm đơn hoặc bội lẻ.
một số trường hợp [tex]f'(x)=0[/tex] vô nghiệm nhưng vẫn có cực trị tại điểm mà hàm số không có đạo hàm.
Loại 2: Điều kiện để một điểm là cực trị của hàm số.
Cho hàm số [tex]y=f(x)[/tex] và điểm [tex]M(x_0;y_0)[/tex] thuộc đồ thị của hàm số là điểm cực trị thì [tex]f'(x_0)=0[/tex].
+ nếu [tex]\left\{\begin{matrix} f'(x_0)=0\\ f''(x_0)<0 \end{matrix}\right.[/tex] thì M là điểm cực đại của đồ thị hàm số.
+ nếu [tex]\left\{\begin{matrix} f'(x_0)=0\\ f''(x_0)>0 \end{matrix}\right.[/tex] thì M là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.
Loại 3: Đường thẳng đi qua các điểm cực trị của hàm số.
Xét với hàm số đa thức bậc 3: [tex]y=ax^3+bx^2+cx+d[/tex] có đạo hàm [tex]y'=3ax^2+2bx+c[/tex]
Lấy y chia y', ta được:
[tex]y=\left ( \frac{1}{3}x+\frac{b}{9a} \right ).y'+\left ( \frac{2c}{3}-2\frac{b^2}{9a} \right )x+d-\frac{bc}{9a}[/tex]
hàm số đạt cực trị tại [tex]x_1,x_2[/tex] nên [tex]y'(x_1)=y'(x_2)=0[/tex]. ta có:
[tex]\left\{\begin{matrix} y(x_1)=\left ( \frac{2c}{3}-2\frac{b^2}{9a} \right )x_1+d-\frac{bc}{9a}\\ y(x_2)=\left ( \frac{2c}{3}-2\frac{b^2}{9a} \right )x_2+d-\frac{bc}{9a} \end{matrix}\right.[/tex]
do đó 2 điểm cực trị nằm trên đường thẳng [tex]y=\left ( \frac{2c}{3}-2\frac{b^2}{9a} \right )x+d-\frac{bc}{9a}[/tex]
Lưu ý: Với các hoành độ cực trị không phụ thuộc tham số thì ta không cần thiết phải làm theo
cách này, nhưng có chứa tham số thì đây là lựa chọn khôn ngoan.
Loại 4: Các điểm cực trị thỏa mãn một điều kiện chẳng hạn lập thành tam giác vuông, tam giác
đều,...Lúc này chúng ta dựa vào tính chất của tam giác.
Dạng toán : Liên quan đến điều kiện tồn tại cực, cực tiểu- tọa độ cực trị.
Phương pháp :
- Để hàm số bậc 3 có cực trị khi và chỉ khi phương trình y'=0 có hai nghiệm phân biệt.
- Một điểm [tex]x_0[/tex] là điểm cực tiểu của hàm số thì [tex]\left\{\begin{matrix} f'(x_0)=0\\ f''(x_0)>0 \end{matrix}\right.[/tex] cần phải thử lại xem y' có đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua [tex]x_0[/tex] hay không.
- Một điểm [tex]x_0[/tex] là điểm cực đại của hàm số thì [tex]\left\{\begin{matrix} f'(x_0)=0\\ f''(x_0)<0 \end{matrix}\right.[/tex] cần phải thử lại xem y' có đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua [tex]x_0[/tex] hay không.
Đặc biệt :
- Hai điểm cực trị nằm khác phía với trục tung thì pt y'=0 có hai nghiệm trái dấu.
Hai điểm cực trị nằm khác phía đối với trục hoành thì [tex]y_{CD}.y_{CT}<0[/tex] hoặc phương trình y =0 có
ba nghiệm phân biệt.