Các bài toán khó thi lên trường chuyên

[ducpro98]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Tìm các số nguyên tố p thỏa mãn: \frac{1}{p}= \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} với a, b là các số nguyên dương.
2.Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
-2x^6+x^3+8x^2-3x-91=0
3. Tìm x, y, y nguyên thỏa mãn:
8x+9y+10z=100
và
x+y+z>11
4. Trên cung nhỏ BC của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC lấy 1 điểm P tùy ý. Các đoạn thẳng AP và BC cắt nhau ở P. Đặt PB=b; PC=c; PQ=x.
CMR: \frac{1}{x} = \frac{1}{b} + \frac{1}{c}
5. Giải phương trình:
1981x^4+1979x^3+1982x^2+1978x+1980=0

 

[quangltm]

1. Tìm các số nguyên tố p thỏa mãn: \frac{1}{p}= \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} với a, b là các số nguyên dương.
2.Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
-2x^6+x^3+8x^2-3x-91=0
3. Tìm x, y, y nguyên thỏa mãn:
8x+9y+10z=100
và
x+y+z>11
4. Trên cung nhỏ BC của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC lấy 1 điểm P tùy ý. Các đoạn thẳng AP và BC cắt nhau ở P. Đặt PB=b; PC=c; PQ=x.
CMR: \frac{1}{x} = \frac{1}{b} + \frac{1}{c}
5. Giải phương trình:
1981x^4+1979x^3+1982x^2+1978x+1980=0

Bài 1:
Phương trình tương đương với
$(a^2+b^2)p = a^2\cdot b^2 \implies a^2 + b^2 \vdots (a^2+b^2)p \vdots a^2, b^2$
$\implies a^2 +b^2 \vdots a^2,b^2 \implies a^2 = b^2 \implies$ easy
Bài 2:
$x^3+8x^2-3x-91=2x^6 \implies VT$ chẵn
Mà $2 \mid x^3 - 3x \implies VT$ lẻ $\implies$ vô nghiệm
Bài 3:
Đây là pt diophantine tuyến tính 3 ẩn nên sẽ có nghiệm:
$y = 2 (5 n+4 x), z = -9 n-8 x+10$ (với $x, n \in \mathbb Z$)
Cộng lại...
Bài 4 (lười vẽ hình)
Bài 5:
#: $x\ge 0 \implies VT>0=VP \implies$ vô nghiệm
#: $x \le - 1 \implies (1981x^4+1979x^3)+(1982x^2+1978x)> 0 \implies$ vô nghiệm
#: $x \in (-1;0)$, Tương tự $VT = 1980(x+1)+2x(x-1)+1980x^2(x+1)...>0 \implies$ vô nghiệm
Vậy pt vô nghiệm

 

[quangltm]

Bài hình:
Ý bạn là: Các đoạn thẳng AP và BC cắt nhau ở Q

Dễ chứng minh được $\triangle APB \sim \triangle CPQ$ do $\angle CPA = \angle APB, \angle PAB = \angle PCQ$
$$\implies \frac {AP}{BP}=\frac {PC}{PQ} \iff AP \cdot PQ = BP \cdot PC \iff \frac 1{PQ}=\frac {AP}{PB \cdot PC} = \frac{BP + PC}{BP\cdot PC} = VP \implies đpcm$$

/* Phần chứng minh $PA = PB + PC$ khá quen thuộc nên mình nên mình không viết */