Các bài toán hsg 6 Olympic Hà Nội- Ams 2011

[tunhi_99]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

ĐỀ THI OLYMPIC HÀ NỘI - AMSTERDAM 2011
Môn thi: Toán lớp 6
Ngày thi: 25/3/2011
Thời gian làm bài: 90 phút

1/ Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho [TEX]\frac{n - 17}{ 5n + 4}[/TEX] khác 0 giản ước được
2/ Cho tổng phân số có quy luật sau:
[TEX]A =\frac{1}{ 1.1.3} + \frac{1}{2.3.5} + \frac{1}{3.5.7} + \frac{1}{4.7.9} +...[/TEX]
a. Tìm số hạng thứ n?
b. So sánh tổng A gồm 2011 số hạng với [TEX]\frac{2}{3}[/TEX]
3/ Tìm các số nguyên dương x,y sao cho [TEX]\frac{1}{x} +\frac{1}{y} + \frac{1}{xy} = 2/3[/TEX]
4/ Cho góc xOy = 135 độ. Trong góc xOy vẽ tia Om,On ( không trùng tia Ox, Oy) sao cho góc xOm = 90, mOn = 45
a. Chỉ ra các tia phân giác của các góc có trong hình vẽ và chứng minh
b. Trên tia Oy, lấy điểm A vẽ tia At cắt các tia Om, On, Ox lần lượt B,C và D. Trên hình vẽ có bao nhiêu đoạn thẳng, bao nhiêu cặp góc kề bù?
5/ a. Tìm các chữ số a,b,c sao cho 1ab5c chia hết 775
b. Tìm các số nguyên tố n sao cho[TEX] 2^n + 7 n^2[/TEX] cũng là số nguyên tố.

Chú ý latex

 

[braga]

Bài 3 nè

[TEX]\frac{1}{x}[/TEX] + [TEX]\frac{1}{y}[/TEX] + [TEX]\frac{1}{xy}[/TEX] = [TEX]\frac{2}{3}[/TEX] (1)
[TEX]\frac{1}{x}[/TEX] + [TEX]\frac{1}{y}[/TEX] + [TEX]\frac{1}{x}[/TEX] - [TEX]\frac{1}{y}[/TEX] = [TEX]\frac{2}{3}[/TEX]
[TEX]\frac{1}{x}[/TEX] + [TEX]\frac{1}{x}[/TEX] = [TEX]\frac{2}{3}[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]\frac{2}{x}[/TEX] = [TEX]\frac{2}{3}[/TEX]
\Rightarrow x= 3
Thay x = 3 vào (1), ta có:
[TEX]\frac{1}{3}[/TEX] + [TEX]\frac{1}{y}[/TEX] + [TEX]\frac{1}{3y}[/TEX] = [TEX]\frac{2}{3}[/TEX]
[TEX]\frac{1}{y}[/TEX] +[TEX]\frac{1}{3y}[/TEX] = [TEX]\frac{2}{3}[/TEX] - [TEX]\frac{1}{3}[/TEX]
[TEX]\frac{1}{y}[/TEX] + [TEX]\frac{1}{3y}[/TEX] = [TEX]\frac{1}{3}[/TEX]
[TEX]\frac{3}{3y}[/TEX] + [TEX]\frac{1}{3y}[/TEX] = [TEX]\frac{1}{3}[/TEX]
[TEX]\frac{4}{3y}[/TEX] = [TEX]\frac{1}{3}[/TEX] \Rightarrow 3y = 12 \Rightarrow y = 4

 

[soicon_boy_9x]

ĐỀ THI OLYMPIC HÀ NỘI - AMSTERDAM 2011
Môn thi: Toán lớp 6
Ngày thi: 25/3/2011
Thời gian làm bài: 90 phút

1/ Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho [TEX]\frac{n - 17}{ 5n + 4}[/TEX] khác 0 giản ước được
2/ Cho tổng phân số có quy luật sau:
[TEX]A =\frac{1}{ 1.1.3} + \frac{1}{2.3.5} + \frac{1}{3.5.7} + \frac{1}{4.7.9} +...[/TEX]
a. Tìm số hạng thứ n?
b. So sánh tổng A gồm 2011 số hạng với [TEX]\frac{2}{3}[/TEX]
3/ Tìm các số nguyên dương x,y sao cho [TEX]\frac{1}{x} +\frac{1}{y} + \frac{1}{xy} = 2/3[/TEX]
4/ Cho góc xOy = 135 độ. Trong góc xOy vẽ tia Om,On ( không trùng tia Ox, Oy) sao cho góc xOm = 90, mOn = 45
a. Chỉ ra các tia phân giác của các góc có trong hình vẽ và chứng minh
b. Trên tia Oy, lấy điểm A vẽ tia At cắt các tia Om, On, Ox lần lượt B,C và D. Trên hình vẽ có bao nhiêu đoạn thẳng, bao nhiêu cặp góc kề bù?
5/ a. Tìm các chữ số a,b,c sao cho 1ab5c chia hết 775
b. Tìm các số nguyên tố n sao cho[TEX] 2^n + 7 n^2[/TEX] cũng là số nguyên tố.

Chú ý latex

bài 1
gọi ước là d ta có
n-17 chia hết cho d
5n+4 chia hết cho d
5n-85 chia hết cho d
5n+4 chia hết cho d
=>89 chia hết cho d
d # 1 nên d=89
n-17 nhỏ nhất chia hết cho 89 là 17
thử lại 5n+4=89 dúng
=>n nhỏ nhất =17
cũng ko khó lắm

 

[harrypham]

ĐỀ THI OLYMPIC HÀ NỘI - AMSTERDAM 2011
Môn thi: Toán lớp 6
Ngày thi: 25/3/2011
Thời gian làm bài: 90 phút

1/ Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho [TEX]\frac{n - 17}{ 5n + 4}[/TEX] khác 0 giản ước được
2/ Cho tổng phân số có quy luật sau:
[TEX]A =\frac{1}{ 1.1.3} + \frac{1}{2.3.5} + \frac{1}{3.5.7} + \frac{1}{4.7.9} +...[/TEX]
a. Tìm số hạng thứ n?
b. So sánh tổng A gồm 2011 số hạng với [TEX]\frac{2}{3}[/TEX]
3/ Tìm các số nguyên dương x,y sao cho [TEX]\frac{1}{x} +\frac{1}{y} + \frac{1}{xy} = 2/3[/TEX]
4/ Cho góc xOy = 135 độ. Trong góc xOy vẽ tia Om,On ( không trùng tia Ox, Oy) sao cho góc xOm = 90, mOn = 45
a. Chỉ ra các tia phân giác của các góc có trong hình vẽ và chứng minh
b. Trên tia Oy, lấy điểm A vẽ tia At cắt các tia Om, On, Ox lần lượt B,C và D. Trên hình vẽ có bao nhiêu đoạn thẳng, bao nhiêu cặp góc kề bù?
5/ a. Tìm các chữ số a,b,c sao cho 1ab5c chia hết 775
b. Tìm các số nguyên tố n sao cho[TEX] 2^n + 7 n^2[/TEX] cũng là số nguyên tố.

2/ a. Số hạng thứ n của dãy là

[TEX]\frac{1}{n(2n-1)(2n+1)}[/TEX]

5/ Nhận thấy [TEX]775=31.5^2[/TEX] nên [TEX]\overline{1ab5c}[/TEX] chia hết cho 25 hay [TEX]\overline{5c}[/TEX] chia hết cho 25, nên [TEX]\fbox{c=0}[/TEX].

Cần tìm a và b sao cho [TEX]\overline{1ab50}=10050+100. \overline{ab}=31.324+6+ 100. \overline{ab}[/tex] chia hết cho 31.

[TEX]\Rightarrow \overline{ab}.100+6[/TEX] chia hết cho 31.

Kết quả tìm được [TEX]\fbox{ \overline{ab} \in \{ 39, 70, \} }[/TEX].

Từ đây ta tìm được a,b,c thoả mãn điều kiện.

 

[harrypham]

5/ b. Tìm số nguyên tố [TEX]n[/TEX] sao cho [TEX]2^n+7n^2[/TEX] cũng là số nguyên tố.

Giải.

+ Với [TEX]n=3k[/TEX] thì [TEX]n=3[/TEX], thử lại thoả mãn.

+ Với [TEX]n=3k+1[/TEX] thì [TEX]n^2=3p+1[/TEX] nên [TEX]2^{3k+1}+7.(3p+1)[/TEX] là số nguyên tố.

Nhận thấy [TEX]2^{3k+1}[/TEX] chia 3 dư 1 nên [TEX]2^{3k+1}=3m+1[/TEX].

Do đó [TEX]2^{3k+1}+7(3p+1)=2^{3k+1}+21p+7[/TEX] chia hết cho 3, không thể nguyên tố.

+ Với [TEX]n=3k+2[/TEX] thì [TEX]n^2=3p+1[/TEX] nên [TEX]2^{3k+1}+7.(3p+2)=2{3k+1}+21p+14[/TEX] chia hết cho 3, không thể nguyên tố.

Vậy [TEX]\fbox{n=3}[/TEX] là đáp án.