Các bài toán hay

[thuan_1999_6a]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1) Tìm số nguyên x, y:

a) $x^4$ + $2x^7$ - $x^14$ - $y^2$ = 7

b) $2x^2$ + 2xy - x + y = 12

2) $\frac{xy}{z}$ + $\frac{yz}{x}$ + $\frac{xz}{y}$ = 3

3) Cm Bất đẳng thức : $x^2$ + $y^2$ - xy $\geq$ x + y -1

 

[hiensau99]

Đầu xuân làm bài BĐT cho nóa rực rỡ )

$x^2 + y^2 - xy \ge x + y -1 $ (1)

$ \leftrightarrow 2x^2 + 2y^2 - 2xy \ge 2x + 2y -2$

$ \leftrightarrow 2x^2 + 2y^2 - 2xy - 2x - 2y +2 \ge 0$

$\leftrightarrow (x-y)^2 + (x-1)^2 + (y-1)^2 \ge 0$

BĐT cuối cùng luôn đúng nên BĐT (1) luôn đúng

Dấu "=" xảy ra $ \leftrightarrow x=y=1$

 

[cry_with_me]

2) xyz + yzx + xzy = 3

(1)

ĐKXD : x,y,z khác 0

(1) ~> $(xy)^2 + (yz)^2 + (xz)^2 = 3xyz$ (2)


Vì $(xy)^2 + (yz)^2 + (xz)^2 $ \geq 0

~> 3xyz \geq 0

<-> xyz \geq 0

Vì x,y,z là các số ko âm, ADBDT cô-si cho pt (2) :

$(xy)^2 + (yz)^2 + (xz)^2 $ \geq $3xyz\sqrt[3]{xyz} $

vì $(xy)^2 + (yz)^2 + (xz)^2 = 3xyz$ nên

0 \leq $\sqrt[3]{xyz} $ \leq 1

<-> 0 \leq xyz \leq 1

vì đầu bài là tìm nghiệm nguyên nên pt có nghiệm

$\left\{\begin{matrix} x=y=z=1\\x = z = - 1; y = 1 \\ y = z = -1 ; x = 1 \\x = y = - 1; z = 1\end{matrix}\right.$