các bài toán hay và khó

[vinacoj]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1) Cho a/b>0.CMa/b+b/a lớn hơn hoặc bằng 2.
2)Cho a,b,c thuộc N*và S=a+b/c+b+c/a+c+a/b
CMR:s lớn hơn hoặc bằng 6. Tìm giá tri nhỏ nhất của S
3)cho a+4bchia hết cho 13. Chứng minh 10a+b chia hết cho 13
4)tìm x.y sao cho:
x^3+4y=7+x
GIÚP MÌNH VỚI CÁC BẠN ƠI MAI MỊNH OHAIR NỘP BÀI RỒI...

 

[popstar1102]

1) Cho a/b>0.CMa/b+b/a lớn hơn hoặc bằng 2.
2)Cho a,b,c thuộc N*và S=a+b/c+b+c/a+c+a/b
CMR:s lớn hơn hoặc bằng 6. Tìm giá tri nhỏ nhất của S
3)cho a+4bchia hết cho 13. Chứng minh 10a+b chia hết cho 13
4)tìm x.y sao cho:
x^3+4y=7+x
GIÚP MÌNH VỚI CÁC BẠN ƠI MAI MỊNH OHAIR NỘP BÀI RỒI...

$\frac{a}{b}$+ $\frac{b}{a}$ \geq 2
\Leftrightarrow $\frac{a}{b}+$\frac{b}{a}$ -2 \geq 0
\Leftrightarrow $\frac{(a-b)^2}{ab}$\geq 0
bdt đúng vì $(a-b)^2$\geq 0 và ab \geq 0
\Rightarrowđpcm

2) áp dụng một tổng chia 1 số
và bđt vừa chứng minh
$\frac{a}{b}$ +$ \frac{b}{a}$ \geq 2
GTNNL là 6
\Leftrightarrow$\frac{a}{b}$+$\frac{b}{a}$=2
$\frac{a}{c}$+$\frac{c}{a}$=2
$\frac{b}{c}$+$\frac{c}{b}$=2
từ đó giải ra tìm a,b,c

 

[thieukhang61]

3)cho a+4b chia hết cho 13. Chứng minh 10a+b chia hết cho 13
Giải:
Ta có:
a+4b chia hết cho 13
\Rightarrow3(a+4b) chia hết cho 13
\Rightarrow3a+12b chia hết cho 13
Cho tổng:
(3a+12b)+(10a+b)
=3a+12b+10a+b
=13a+13b
=13(a+b) chia hết cho 13
Vậy 10a+b chia hết cho 13.

 

[thieukhang61]

4)tìm x.y sao cho:
x^3+4y=7+x
Giải:
[TEX]x^3+4y=7+x[/TEX]
[TEX]x^3+4y-x=7[/TEX]
[TEX]x(x^2-1)+4y=7[/TEX]
Ta thấy 7 là số lẻ, 4y là số chẵn\Rightarrow[TEX]x(x^2-1)[/TEX] là số lẻ\Rightarrowx là số lẻ và [TEX]x^2-1[/TEX] cũng là số lẻ.
Nhưng tới đây, ta lại thấy nếu x là số lẻ thì [TEX]x^2[/TEX] là số lẻ nên [TEX]x^2-1[/TEX] là số chẵn, ta có mâu thuẫn. Vậy không có số nguyên x, y nào thỏa mãn đề bài.

 

[thieukhang61]

1) Cho [TEX]\frac{a}{b}>0[/TEX].CM [TEX]\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq2[/TEX].
Giải:
Vì [TEX]\frac{a}{b}>0[/TEX] nên a và b là các số nguyên dương
Giả sứ [TEX]\frac{a}{b}+\frac{b}{a}<2[/TEX]
Vậy[TEX]a^2+b^2<2ab[/TEX]
Nếu a=b\Rightarrow [TEX]a^2+a^2<2a^2[/TEX]\RightarrowMâu thuẫn.
Do vai trò của a và b ở đây là như nhau, ta giả sử a=b+x (x thuộc N*; x<a; b<a)
\Rightarrow[TEX]a^2+b^2<2ab[/TEX]
\Rightarrow[TEX](b+x)^2+b^2<2b(b+x)[/TEX]
\Rightarrow[TEX]b^2+2bx+x^2+b^2<2b^2+2bx[/TEX]
\Rightarrow[TEX]2b^2+2bx+x^2<2b^2+2bx[/TEX]
\Rightarrow[TEX]x^2<0[/TEX]\RightarrowMâu thuẫn
Từ điều giả sử ta luôn có mâu thuẫn\Rightarrowđpcm

 

[thinhrost1]

1) Cho [TEX]\frac{a}{b}>0[/TEX].CM [TEX]\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq2[/TEX].
Giải:
Vì [TEX]\frac{a}{b}>0[/TEX] nên a và b là các số nguyên dương
Giả sứ [TEX]\frac{a}{b}+\frac{b}{a}<2[/TEX]
Vậy[TEX]a^2+b^2<2ab[/TEX]
Nếu a=b\Rightarrow [TEX]a^2+a^2<2a^2[/TEX]\RightarrowMâu thuẫn.
Do vai trò của a và b ở đây là như nhau, ta giả sử a=b+x (x thuộc N*; x<a; b<a)
\Rightarrow[TEX]a^2+b^2<2ab[/TEX]
\Rightarrow[TEX](b+x)^2+b^2<2b(b+x)[/TEX]
\Rightarrow[TEX]b^2+2bx+x^2+b^2<2b^2+2bx[/TEX]
\Rightarrow[TEX]2b^2+2bx+x^2<2b^2+2bx[/TEX]
\Rightarrow[TEX]x^2<0[/TEX]\RightarrowMâu thuẫn
Từ điều giả sử ta luôn có mâu thuẫn\Rightarrowđpcm

Có cần làm dài dòng thế không bạn )
$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\geq2\\\Leftrightarrow a^2+b^2\geq 2ab\\\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\geq 0 \Leftrightarrow (a-b)^2\geq 0(dpcm)$