Các bài toán BĐT khó và hay

[manhdn98]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1.Cho [TEX]x,y,z[/TEX] thỏa mãn [TEX]xy+yz+xz=4[/TEX]. Chứng minh: [TEX]x^4+y^4+z^4\geq16/3[/TEX]
2.Cho [TEX]x,y,z[/TEX] dương thỏa mãn [TEX]x+y+z=4[/TEX].Chứng minh [TEX]x+y\geq xyz[/TEX]
3.Cho [TEX]a,b,c>0[/TEX] và [TEX]a+b+c=1[/TEX].Chứng minh: [TEX]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \geq 9[/TEX]
4.Cho [TEX]0\leq x,y,z \leq1[/TEX].Chứng minh: [TEX]0\leq x+y+z-xy-yz-xz\leq1[/TEX]
5.Cho [TEX]\ -1\leq x,y,z\leq 2[/TEX] và [TEX]x+y+z=0[/TEX].Chứng minh: [TEX]x^2+y^2+z^2\leq6[/TEX]
6.Cho [TEX]a,b,c[/TEX] thỏa mãn [TEX]a^2+b^2+c^2=1[/TEX].Chứng minh:
[TEX] abc+2(1+a+b+c+ab+bc+ac)\geq0[/TEX]

 

[meomiutiunghiu]

Bài 3
Do [TEX]a+b+c= 1[/TEX]. Theo bài ta có :
[TEX](a+b+c)(\frac{1}{a} +\frac{1}{b} + \frac{1}{c})[/TEX]
[TEX]= 1 + \frac{a}{b} + \frac{a}{c} + \frac{b}{a} + 1 + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} +\frac{c}{b} +1[/TEX]
[TEX]=3 + (\frac{a}{b}+ \frac{b}{a} ) +(\frac{a}{c} +\frac{c}{a} ) +(\frac{c}{b}+\frac{b}{c} )[/TEX]
Vì [TEX](\frac{a}{b}+ \frac{b}{a} )\geq2[/TEX]
[TEX](\frac{a}{c} +\frac{c}{a} )\geq2[/TEX]
[TEX](\frac{c}{b}+\frac{b}{c} )\geq2[/TEX]
Nên [TEX]( a+b+c)(\frac{1}{a} +\frac{1}{b} + \frac{1}{c})\geq9[/TEX]
Suy ra [TEX](\frac{1}{a} +\frac{1}{b} + \frac{1}{c})\geq9[/TEX]
@daovuquang: đã sửa

 

[daovuquang]

1. [TEX]x^2+y^2+z^2\geq xy+yz+xz[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\geq4[/TEX]
[TEX]\Rightarrow x^4+y^4+z^4\geq \frac{(x^2+y^2+z^2)}{3}=\frac{16}{4}[/TEX]
Dấu "=" xảy ra[TEX]\Leftrightarrow x=y=z=\frac{2}{sqrt{3}}[/TEX]
2. [TEX]x+y\geq xyz[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \frac{x+y}{xyz}\geq1.[/TEX]
Áp dụng BĐT AM-GM: [TEX]\frac{x+y}{xyz}\geq\frac{x+y}{\frac{(x+y)^2}{4}z}=\frac{4}{(x+y)z}\geq\frac{16}{(x+y+z)^2}=1.[/TEX]
Dấu "=" xảy ra [TEX]\Leftrightarrow x=y=1;z=2.[/TEX]
4. Xét BĐT đầu, dễ nhận thấy [TEX]xy\leq x, yz\leq y, zx\leq z\Rightarrow[/TEX] tự chứng minh tiếp.
BĐT sau,ta có nhận xét: [TEX](x-1)(y-1)(z-1)\leq0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow x+y+z-xy-yz-zx\leq1-xyz\leq1.[/TEX]
Bài 5 sai đề. Dễ thấy với [TEX]x=10;y=0;z=-10.[/TEX])

 

[manhdn98]

Giúp mình với

Các bạn giúp mình với:
Mình ở Đà Nẵng. Mình là hoc sinh chuyên toán nên có rất nhiều bài muôn post lên cho các bạn cùng làm
Nhưng thú thật là mình ko biết gõ latex nên mình ít khi post bài vì hơi ngại (bấm đề lâu quá và các bạn đoc cũng khó hiểu) lên xem cách gõ thì ko hiểu;cũng có nhiều lúc mình muốn trả lời câu hỏi của các bạn nhưng lại ngại nên mình nhát quá cho qua luôn. Nên mong các bạn có thể giúp mình để mình có thể post thêm nhiều bài toán hay cũng như có thể cùng các bạn giải các câu hỏi khó. Ai có thể giúp mình thì liên lạc yahoo:
manhdn98.thanks nhiều !!
Bây giờ mình xin post lên 2 bài đơn giản nha:
1.Cho [TEX]a>2[/TEX] và [TEX]b>2[/TEX]. Chứng minh: [TEX]ab>a+b[/TEX]
2.Cho [TEX]x+y+z=3[/TEX]. Chứng minh rằng: [TEX]x^2+y^2+z^2+xy+yz+xz\geq6[/TEX]

 

[quangltm]

1.Cho [TEX]a>2[/TEX] và [TEX]b>2[/TEX]. Chứng minh: [TEX]ab>a+b[/TEX]
2.Cho [TEX]x+y+z=3[/TEX]. Chứng minh rằng: [TEX]x^2+y^2+z^2+xy+yz+xz\geq6[/TEX]

1.[TEX] ab>a+b\Leftrightarrow a+b-ab<0 \Leftrightarrow a+b-ab-1=(a-1)(1-b)<-1[/TEX]
Mà [TEX]a, b>2 =>1-b \leq -1[/TEX] và [TEX]a-1>1>0[/TEX]...Đến đây thì dễ rồi

 

[son9701]

Các bạn giúp mình với:
Mình ở Đà Nẵng. Mình là hoc sinh chuyên toán nên có rất nhiều bài muôn post lên cho các bạn cùng làm
Nhưng thú thật là mình ko biết gõ latex nên mình ít khi post bài vì hơi ngại (bấm đề lâu quá và các bạn đoc cũng khó hiểu) lên xem cách gõ thì ko hiểu;cũng có nhiều lúc mình muốn trả lời câu hỏi của các bạn nhưng lại ngại nên mình nhát quá cho qua luôn. Nên mong các bạn có thể giúp mình để mình có thể post thêm nhiều bài toán hay cũng như có thể cùng các bạn giải các câu hỏi khó. Ai có thể giúp mình thì liên lạc yahoo:
manhdn98.thanks nhiều !!
Bây giờ mình xin post lên 2 bài đơn giản nha:
1.Cho [TEX]a>2[/TEX] và [TEX]b>2[/TEX]. Chứng minh: [TEX]ab>a+b[/TEX]
2.Cho [TEX]x+y+z=3[/TEX]. Chứng minh rằng: [TEX]x^2+y^2+z^2+xy+yz+xz\geq6[/TEX]

2.Ta có:
[TEX]x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx = (x+y+z)^2 -(xy+yz+zx) = 9-(xy+yz+zx)[/TEX]

Bài toán sẽ hoàn tất nếu ta cm đc:

[TEX]xy+yz+zx \leq 3 \Leftrightarrow xy+yz+zx \leq \frac{(x+y+z)^2}{3}[/TEX]

(bất đẳng thức này đúng,dấu = xảy ra khi x=y=z)
(đpcm)

P/s:Nhìn tên nick yahoo của chú a lại nhớ đến tên thienan_dn97