các bài toán 8

[kunsunl0v3_1997]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1,CMR : a, n^3 + (n+3)^3 + (n+2)^3 chia hết cho 9
b, (n^5 - n) chia hết cho 30 ( N nguyên Dương )

2. TÌm số tự nhiên để a + 18 và a + 41 là 2 số chính phương

3. CMR
m^2+ n^2+1 > mn+m+n
4. Chứng minh
(m^3 + 20m) chia hết cho 48
bt m là một số chẵn ( m thuộc N)

 

[yumi_26]

3. CMR
m^2+ n^2+1 > mn+m+n

Ta có:
$m^2 + n^2 + 1 > mn + m +n \ (1)$
\Leftrightarrow $2m^2 + 2n^2 + 2 > 2mn + 2m + 2n$
\Leftrightarrow $(m^2 - 2mn+n^2) + (m^2 - 2m + 1) + (n^2 - 2n + 1) > 0$
\Leftrightarrow $(m-n)^2 + (m-1)^2 + (n-1)^2 > 0$ (luôn đúng)
Vậy (1) đúng

 

[harrypham]

a, Đề nên là: [TEX]A=n^3+(n+1)^3+(n+2)^3=n^3+n^3+3n^2+3n+1+n^3+6n^2+12n+8[/TEX]
[TEX]=3n^3+9n^2+15n+9=3n(n^2+5)+9n^2+9[/TEX]
+) Với [TEX]n \vdots 3 \Rightarrow 3n(n^2+5) \vdots 9 \Rightarrow A \vdots 9[/TEX].
+) Với [TEX]n \not\vdots 3 \Rightarrow n^2 \equiv 1 \pmod{3} \Rightarrow n^2+5 \equiv 0 \pmod{3} \Rightarrow A \vdots 9[/TEX].
Ta có đpcm.

b, [TEX]n^5-n=n(n^4-1)=n(n^2-1)(n^2+1)=(n-1)n(n+1)(n^2-4+5)=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)+5(n-1)n(n+1)[/TEX].

Nhân thấy [TEX]n-2,n-1,n,n+1,n+2[/TEX] là ba số nguyên liên tiếp nên tồn tại một số chia hết cho 2, một số chia hết cho 3, một số chia hết cho 5 nên tích chúng chia hết cho [TEX]2.3.5=30[/TEX], hay [TEX](n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) \vdots 30[/TEX].

Lại có [TEX]n,n+1,n-1[/TEX] là ba số nguyên liên tiếp nên tồn tại số chia hết cho 3, số chia hết cho 2. Suy ra tích chúng chia hết cho 6, hay [TEX]n(n-1)(n+1) \vdots 6 \Rightarrow 5(n-1)n(n+1) \vdots 30[/TEX].

Ta có đpcm.

2. Đặt [TEX]a+18=x^2,a+41=y^2[/TEX] với [TEX]x,y \in \mathbb{Z}[/TEX].
Ta có [TEX]y^2-x^2=23 \Rightarrow (x+y)(x-y)=23.1=1.23=(-23).(-1)=(-1).(-23)[/TEX].
Đến đây xét TH để tìm [TEX]x,y[/TEX] rồi tìm [TEX]a[/TEX].

4. Đặt [TEX]m=2k[/TEX] với [TEX]k \in \mathbb{Z}[/TEX].
Ta có [TEX]m^3+20m=8k^3+40k=8(k^3+5k)=8(k^3-k+6k)=8(k^3-k)+48k=8(k-1)k(k+1)+48k[/TEX].
Thấy [TEX]k-1,k,k+1[/TEX] là ba số nguyên liến tiếp nên trong ba số đó có một số chia hết cho 3, suy ra tích chúng chia hết cho 3 [TEX]\Rightarrow 8(k-1)k(k+1) \vdots 48[/TEX].
Ta có đpcm.

 

[ngobin3]

b, (n^5 - n) chia hết cho 30 ( N nguyên Dương )

$n^5 -n$
$= n(n^4 - 1)$
$= n(n^2-1)(n^2+1)$
$= n(n-1)(n+1)(n^2-4+5)$.............................. (1)
$= n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2) + 5n(n-1)(n+1)$................... (2)
$(1)$ chia hết cho 6 (vì tích 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2 và 3)
$(2)$ chia hết cho 5 (vì tích 5 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 5)
Do đó: $n^5 -n$ chia hết $6.5 = 30$