a, Đề nên là: [TEX]A=n^3+(n+1)^3+(n+2)^3=n^3+n^3+3n^2+3n+1+n^3+6n^2+12n+8[/TEX]
[TEX]=3n^3+9n^2+15n+9=3n(n^2+5)+9n^2+9[/TEX]
+) Với [TEX]n \vdots 3 \Rightarrow 3n(n^2+5) \vdots 9 \Rightarrow A \vdots 9[/TEX].
+) Với [TEX]n \not\vdots 3 \Rightarrow n^2 \equiv 1 \pmod{3} \Rightarrow n^2+5 \equiv 0 \pmod{3} \Rightarrow A \vdots 9[/TEX].
Ta có đpcm.
b, [TEX]n^5-n=n(n^4-1)=n(n^2-1)(n^2+1)=(n-1)n(n+1)(n^2-4+5)=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)+5(n-1)n(n+1)[/TEX].
Nhân thấy [TEX]n-2,n-1,n,n+1,n+2[/TEX] là ba số nguyên liên tiếp nên tồn tại một số chia hết cho 2, một số chia hết cho 3, một số chia hết cho 5 nên tích chúng chia hết cho [TEX]2.3.5=30[/TEX], hay [TEX](n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) \vdots 30[/TEX].
Lại có [TEX]n,n+1,n-1[/TEX] là ba số nguyên liên tiếp nên tồn tại số chia hết cho 3, số chia hết cho 2. Suy ra tích chúng chia hết cho 6, hay [TEX]n(n-1)(n+1) \vdots 6 \Rightarrow 5(n-1)n(n+1) \vdots 30[/TEX].
Ta có đpcm.
2. Đặt [TEX]a+18=x^2,a+41=y^2[/TEX] với [TEX]x,y \in \mathbb{Z}[/TEX].
Ta có [TEX]y^2-x^2=23 \Rightarrow (x+y)(x-y)=23.1=1.23=(-23).(-1)=(-1).(-23)[/TEX].
Đến đây xét TH để tìm [TEX]x,y[/TEX] rồi tìm [TEX]a[/TEX].
4. Đặt [TEX]m=2k[/TEX] với [TEX]k \in \mathbb{Z}[/TEX].
Ta có [TEX]m^3+20m=8k^3+40k=8(k^3+5k)=8(k^3-k+6k)=8(k^3-k)+48k=8(k-1)k(k+1)+48k[/TEX].
Thấy [TEX]k-1,k,k+1[/TEX] là ba số nguyên liến tiếp nên trong ba số đó có một số chia hết cho 3, suy ra tích chúng chia hết cho 3 [TEX]\Rightarrow 8(k-1)k(k+1) \vdots 48[/TEX].
Ta có đpcm.