Toán Các bài tập khó

[Phạm Nguyên Khôi]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1)Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD. Gọi E,F lần lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của C xuống đường thẳng AB và AD.
a) Tứ giác BEDF là hình gì? C/m điều đó.
b) C/mr: CH.CD=CB.CK
c) C/mr: AB.AH+AD.AK=AC^2
2)Cho O là trung điểm của đoạn AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là cạnh AB vẽ tia Ax,By cùng vuông góc AB.Trên tia Ax lấy điểm C ( khác A) , qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OC cắt tia By tại D.
a) C/m AB^2=4AC.BD
b) Kẻ OM vuông góc CD tại M.C/m AC = CM
c) Từ M kẻ MH vuông góc AB tại H. C/m BC đi qua trung điểm MH.
d) Tìm vị trí của C trên tia Ax để diện tích tứ giác ABDC là nhỏ nhất.

 

[Quang Trungg]

Bài 1:
BE, DF cùng vuông góc vs AC nên BE//DF
tam giác BEO = tam giác DFO ( cạnh huyền - góc nhọn) (O là gđ 2 đường chéo)
=> BE = FD
từ đó đc tg BEDF là hình bình hành

b, tam giác BHC đồng dạng vs tam giác DKC (g.g)
có góc H = góc k =90 độ
và góc CBH = góc CDK ( vì 2 góc này kề bù vs 2 góc bằng nhau là góc CBA =góc ADC)
=> BC/DC = HC/KC
=>CB.CK = CH.CD

c, tam giác ABE đồng dạng vs tam giác ACH (g.g)
vì có góc E = góc H = 90 độ
và góc A chung
=> AB/AC = AE/AH
=> AB. AH = AC.AE

T]ơng tự ta đc tam giác ADF đồng dạng vs tam giác ACK
=> AD/AC = AF/AK
=> AD. AK = AC.AF

Vậy AB.AH + AD.AK = AC.AE + AC.AF = AC. (AE +AF) = AC .( AE +CE) = AC^2
tự chứng minh AF = CE theo tam giác vuông BEC = tam giác vuông DFA ( cạnh huyền - cạnh góc vuông)
Nguồn Mạng

 

[duchost121]

a) CM: tam giác OAC đồng dạng với tam giác DBO (gg)
=> AC/BO=OA/BD
=> OA.OB=AC.BD
mà OA=OB=AB/2( vì O là trung điểm AB)
=> AB/2.AB/2=AC.BD
<=>AB^2/4=AC.BD(đpcm)
b) vì tam giác OAC đồng dạng với tam giác DBO (gg) (CMT)
=> OC/OD=AC/OB
=>OC/OD=AC/OA( vì OA=OB gt)
=> tam giác OAC đồng dạng với tam giác DOC (cgc)
=> góc MCO= góc ACO
=> tam giác OMC=tam giác OAC(ch-gn)
=>AC=CM
c) Gọi K là giao điểm BC và MH
I là giao điểm BM với Ax
nối MA
ta có : OB=AO=OM ( tam giác OMC= tam giác OAC)
=> tam giác MAB vuông tại M
lại có CM=AC(CMT);OM=OA(CMT)
=> CO là trung trực của AM
=> MA vuông góc với CO
=> CO//IB
lại có OA=OB
=> CI=AC
ta có MH//AI
=> MK/CI=KH/AC(cùng bằng BK/BC)
mà CI=AC => MH=MK
d) ta có diện tích tam giác ABCD=1/2(AC+BD).AB
vì AC và BD >0 ad bđt côsi ta có :
AC+BD >= [tex]2\sqrt{AC.BD}=2.\sqrt{{AB^2}/{4}}=AB[/tex]
suy ra diện tích ABCD >= 1/2AB^2
dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi AC=BD=AB/2
vậy điểm C nằm trên tia Ax cách A một khoảng bằng AO