caan bằng hệ số với bđt am-gm

[motmietmai]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1) Chứng minh rằng nếu $xy+yz+xz=5$ thì $3x^2+3y^2+z^2\ge 10$
2) Tìm giá trị nhỏ nhất của $k(x^2+y^2)+z^2$
3) Giả sử các số thực $x,y,z,t$ thỏa mãn $xy+yz+xz+zt+tx=1$
Tìm giá trị nhỏ nhất của $5x^2+4y^2+5z^2+t^2$

@nhắc nhở: Latex, viết tiếng việt và không dùng mực đỏ

 

[vipboycodon]

Theo bđt cô-si:
$x^2+y^2 \ge 2xy$

$2x^2+\dfrac{1}{2}z^2 \ge 2xz$

$2y^2+\dfrac{1}{2}z^2 \ge 2yz$
Cộng vế với vế ta có đpcm

 

[eye_smile]

3,

$x^2+2y^2 \ge 2\sqrt{2}xy$

$2y^2+z^2 \ge 2\sqrt{2}yz$

$4z^2+\dfrac{1}{2}t^2 \ge 2\sqrt{2}zt$

$\dfrac{1}{2}t^2+4x^2 \ge 2\sqrt{2}xt$

Cộng theo vế,đc:

$5x^2+4y^2+5z^2+t^2 \ge 2\sqrt{2}$

2,Bài 2 hình như thiếu điều kiện thì phải

 

[congchuaanhsang]

Biết là đang AM-GM nhưng mà có hướng giải dùng CBS nên mình ngứa tay quá =))

Xét $4x^2+4y^2+2z^2 = \dfrac{x^2}{\dfrac{1}{4}}+\dfrac{y^2}{\dfrac{1}{4}}+\dfrac{z^2}{\dfrac{1}{2}}$
\geq $\dfrac{(x+y+z)^2}{\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{2}} = (x+y+z)^2$

\Leftrightarrow $3x^2+3y^2+z^2 \ge 2(xy+yz+xz)=10$