c/m

[sagacious]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

[TEX]\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2} \geq \frac{(x+y)^2}{x^2+y^2}[/TEX]

 

[vipboycodon]

$\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2} \ge \dfrac{(x+y)^2}{x^2+y^2}$
<=> $\dfrac{x^4+y^4}{x^2y^2} \ge \dfrac{(x+y)^2}{x^2+y^2}$
<=> $(x^2+y^2)(x^4+y^4) \ge x^2y^2(x^2+2xy+y^2)$
<=> $x^6+x^2y^4+x^4y^2+y^6 \ge x^4y^2+2x^3y^3+x^2y^4$
<=> $(x^3-y^3)^2 \ge 0$ (đúng)

 

[casidainganha]

bài

[TEX]\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2} \geq \frac{(x+y)^2}{x^2+y^2}[/TEX]

$(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2})(y^2+x^2)$ \geq (x+y)^2
Nơi mình thi dùng cosi và bunhia không cần chứng minh nên mình nghĩ cách này nhanh hơn, tuỳ nơi bạn áp dụng nhé

 

[sagacious]

làm giùm mik vs [TEX]\sqrt{20+\sqrt{20+\sqrt{20+\sqrt{20...}}}}[/TEX]2014 dấu căn
tìm phần nguyên của số đó

 

[casidainganha]

làm giùm mik vs [TEX]\sqrt{20+\sqrt{20+\sqrt{20+\sqrt{20...}}}}[/TEX]2014 dấu căn
tìm phần nguyên của số đó

Ta đặt $a_n= \sqrt{20+\sqrt{20+\sqrt{20+\sqrt{20...}}}}$ có n dấu căn
$a_1=\sprt{20}$ < 5
$a_2= \sqrt{20+a_1}$ =5
Tương tự tiếp tục ta có $a_2014$ <5 mà $a_2014$> căn 16
Vậy phần nguyên số cần tìm là 4

 

[huynhbachkhoa23]

$\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2} \ge \dfrac{(x+y)^2}{x^2+y^2}$
<=> $\dfrac{x^4+y^4}{x^2y^2} \ge \dfrac{(x+y)^2}{x^2+y^2}$
<=> $(x^2+y^2)(x^4+y^4) \ge x^2y^2(x^2+2xy+y^2)$
<=> $x^6+x^2y^4+x^4y^2+y^6 \ge x^4y^2+2x^3y^3+x^2y^4$
<=> $(x^3-y^3)^2 \ge 0$ (đúng)

$(x-y)^2 \ge 0 \leftrightarrow x^2+y^2 \ge 2xy (1)$
$ \leftrightarrow 2(x^2+y^2) \ge (x+y)^2$

Vì thế mà $VP \le 2$

Áp dụng BDT $(1)$ ta có $VT \ge 2|\dfrac{x.y}{x.y}|=2$

Vì vậy mà $VT \ge 2 \ge VP$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y$