C/M O thuộc (I) và tính BC theo R

[edodeptrai]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tam giác ABC có góc A =45 (AB < AC) nt (O,R). Đường tròn tâm I đk BC cắt các cạnh AB , AC lần lượt tại D,E . BE, CD cắt nhau tại H
CMR O thuộc (I) và tính độ dài cạnh BC theo R.
CMR OH,DE,IK đồng quy

 

[hoangtubongdem5]

Giải

a/ CMR O thuộc (I) và tính độ dài cạnh BC theo R.

Đường tròn (O):[TEX] \hat{BAC} = 45^o \Rightarrow \hat{COB} = 90^o \Rightarrow [/TEX]

[TEX]\Delta{COB}[/TEX] vuông tại O

Mà [TEX]IC = IB \Rightarrow OI[/TEX] là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền

[TEX]\Rightarrow OI = \frac{1}{2}CB = IC = IB[/TEX] nên O thuộc đường tròn (I)

[TEX]BC^2 = OC^2 + OB^2 = R^2 + R^2[/TEX]

[TEX]\Rightarrow BC =...[/TEX]

 

[hoangtubongdem5]

b/

CMR OH,DE,IK đồng quy

Bạn nhầm rồi nhé, đúng phải là : OH,DE,IA đồng quy

Nối OA, OC, OB , OE, OD

Gọi K là giao điểm của ED và OH

Ta có: Tg CODB nội tiếp ( 4 điểm của thuộc đường tròn (I))

[TEX]\Rightarrow \hat{DCO} = \hat{DBO} (1)[/TEX]

Mà [TEX]OA = OC ( = R)[/TEX]

nên [TEX]\hat{OBD} = \hat{OAB} (2)[/TEX]

và : [TEX]OA = OC ( = R)[/TEX] nên [TEX]\hat{OCA} =\hat{OAC} (3)[/TEX]

[TEX]CAB = 45^o )[/TEX]( theo đề) nên [TEX]\hat{CAO} + \hat{OAC} = 45^o (4)[/TEX]

Từ (1),(2),(3),(4)

[TEX]\Rightarrow \hat{OCA} + \hat{OCD} = 45^o (5)[/TEX]

Mặt khác: [TEX]\hat{OCB} = 45^o[/TEX] ( tam giác OCB vuông tại O có OB = OC)

nên [TEX]\hat{OCD} + \hat{DCB} = 45^o (6)[/TEX]

[TEX](5) + (6) \Rightarrow \hat{ACO} = \hat{DCB}[/TEX]

Mà tứ giác ECOD nội tiếp nên [TEX]\hat{OCE} = \hat{ODE} [/TEX]

tứ giác ECBD nội tiếp nên [TEX]\hat{DCB} = \hat{DEB} [/TEX]

Dó đó: [TEX]\hat{EDO} = \hat{DEH} [/TEX]

[TEX]\Rightarrow EH // OD (7)[/TEX]

Dễ dàng chứng minh [TEX]OE // CD[/TEX] ( [TEX]\hat{EBD} = \hat{ECD}[/TEX] và cung OE chung) (8)

nên từ (7) và (8) [TEX] \Rightarrow OEHD[/TEX] là hình bình hành

[TEX]\Rightarrow K[/TEX] là trung điểm của [TEX]ED[/TEX]

Giờ cần chứng minh IK cũng đi qua K

Lại có: [TEX]\frac{EK}{KD} = \frac{IC}{IB} (=1)[/TEX]

nên IK, EC,DB đồng quy tại 1 điểm

do EC và DB cắt nhau tại A nên IK cũng đi qua K

Vậy IK,ED,OH đồng quy

 

[huynhbachkhoa23]

Nếu đề là $K$ là trung điểm $AH$ thì làm như sau:
$\widehat{ADO}+\widehat{DAE}=\widehat{OCB}+45^{o}=90^{o}$, suy ra $DO\perp AC \perp BE$ hay $DO||BE$. Tương tự ta có $OE||CD$
Vậy là $ODHE$ là hình bình hành.
$DK=EK=\dfrac{1}{2}AH=\dfrac{1}{2}BC=ID=IE$ nên $KDIE$ là hình thoi.
Do đó $IK, ED$ và $OH$ đồng quy.