Toán 9 c/m gt của 1 biểu thức không là số nguyên (2)

[Akira Rin]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1/ Cho [tex]P=13-(10\sqrt{x}+(\sqrt{x}-3)^2)+2x[/tex] . Tìm x nhỏ nhất để P thuộc Z
2/ C/m gt biểu thức sau không là số nguyên
a. [tex]\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+...+\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}[/tex]
b. [tex]\sqrt{x^2+\sqrt{4x^2+\sqrt{16x^2+\sqrt{100x^2+39x+\sqrt{3}}}}}[/tex] với x thuộc N
c. [tex]\frac{2x^2-2}{3x^2-2x-1}-\frac{1}{3x+1}[/tex] với x thuộc Z, x khác 0,1

 

[Akira Rin]

@Nữ Thần Mặt Trăng chị ơi, giúp em với

 

[Nữ Thần Mặt Trăng]

1/ Cho [tex]P=13-(10\sqrt{x}+(\sqrt{x}-3)^2)+2x[/tex] . Tìm x nhỏ nhất để P thuộc Z
2/ C/m gt biểu thức sau không là số nguyên
a. [tex]\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+...+\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}[/tex]
b. [tex]\sqrt{x^2+\sqrt{4x^2+\sqrt{16x^2+\sqrt{100x^2+39x+\sqrt{3}}}}}[/tex] với x thuộc N
c. [tex]\frac{2x^2-2}{3x^2-2x-1}-\frac{1}{3x+1}[/tex] với x thuộc Z, x khác 0,1

1. ĐK: $x\geqslant 0$
$P=(\sqrt x-2)^2$
$P \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow \sqrt x \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow x$ là số chính phương.
Mà $x \geqslant 0 \Rightarrow x=0$.
2. Bạn xem lại đề nhé, câu a mình tính ra số nguyên ạ @@

 

[Akira Rin]

1. ĐK: $x\geqslant 0$
$P=(\sqrt x-2)^2$
$P \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow \sqrt x \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow x$ là số chính phương.
Mà $x \geqslant 0 \Rightarrow x=0$.
2. Bạn xem lại đề nhé, câu a mình tính ra số nguyên ạ @@

câu 2 đúng đề rồi chị ạ

 

[Ann Lee]

1/ Cho [tex]P=13-(10\sqrt{x}+(\sqrt{x}-3)^2)+2x[/tex] . Tìm x nhỏ nhất để P thuộc Z
2/ C/m gt biểu thức sau không là số nguyên
a. [tex]\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+...+\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}[/tex]
b. [tex]\sqrt{x^2+\sqrt{4x^2+\sqrt{16x^2+\sqrt{100x^2+39x+\sqrt{3}}}}}[/tex] với x thuộc N
c. [tex]\frac{2x^2-2}{3x^2-2x-1}-\frac{1}{3x+1}[/tex] với x thuộc Z, x khác 0,1

Bài 2:
a) $\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+...+\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}$
$=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{1}}{2-1}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2}+\frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{4-3}+...+\frac{\sqrt{100}-\sqrt{99}}{100-99}$
$=\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+...+\sqrt{100}-\sqrt{99}=-\sqrt{1}+\sqrt{100}=9$ là số nguyên
Bài này bị sai đề

b) Do x thuộc N nên:
$(8x+1)^{2}< 100x^{2}+39x+\sqrt{3}<100x^{2}+39x+2<(10x+2)^{2}$
$\Rightarrow 8x+1<\sqrt{ 100x^{2}+39x+\sqrt{3}}<10x+2$
$\Rightarrow 16x^{2}+8x+1<16x^{2}+\sqrt{ 100x^{2}+39x+\sqrt{3}}<16x^{2}+10x+2<16x^{2}+16x+4$
$\Leftrightarrow (4x+1)^{2}<16x^{2}+\sqrt{ 100x^{2}+39x+\sqrt{3}}<(4x+2)^{2}$
$\Rightarrow 4x+1<\sqrt{16x^{2}+\sqrt{ 100x^{2}+39x+\sqrt{3}}}<4x+2$
$\Leftrightarrow 4x^{2}+4x+1<4x^{2}+\sqrt{16x^{2}+\sqrt{ 100x^{2}+39x+\sqrt{3}}}<4x^{2}+4x+2<4x^{2}+8x+4$
$\Leftrightarrow (2x+1)^{2}<4x^{2}+\sqrt{16x^{2}+\sqrt{ 100x^{2}+39x+\sqrt{3}}}<(2x+2)^{2}$
$\Rightarrow 2x+1<\sqrt{4x^{2}+\sqrt{16x^{2}+\sqrt{ 100x^{2}+39x+\sqrt{3}}}}<2x+2$
$\Leftrightarrow x^{2}+2x+1<x^{2}+\sqrt{4x^{2}+\sqrt{16x^{2}+\sqrt{ 100x^{2}+39x+\sqrt{3}}}}<x^{2}+2x+2<x^{2}+4x+4$
$\Leftrightarrow (x+1)^{2}<x^{2}+\sqrt{4x^{2}+\sqrt{16x^{2}+\sqrt{ 100x^{2}+39x+\sqrt{3}}}}<(x+2)^{2}$
$\Rightarrow x+1<\sqrt{x^{2}+\sqrt{4x^{2}+\sqrt{16x^{2}+\sqrt{ 100x^{2}+39x+\sqrt{3}}}}}<x+2$
Vì x thuộc N nên $x+1;x+2$ thuộc N, suy ra $\sqrt{x^{2}+\sqrt{4x^{2}+\sqrt{16x^{2}+\sqrt{ 100x^{2}+39x+\sqrt{3}}}}}$ không là số nguyên (đpcm)

c) [tex]\frac{2x^{2}-2}{3x^{2}-2x-1}-\frac{1}{3x+1}=\frac{2(x-1)(x+1)}{(x-1)(3x+1)}-\frac{1}{3x+1}=\frac{2(x+1)}{3x+1}-\frac{1}{3x+1}=\frac{2x+ 1}{3x+1}[/tex]
Đặt ƯCLN(2x+1;3x+1)=d
[tex]\Rightarrow 2x+1\vdots d;3x+1\vdots d\Rightarrow 6x+3\vdots d;6x+2\vdots d\Rightarrow (6x+3)-(6x+2)\vdots d\Leftrightarrow 1\vdots d[/tex]
=> d=1
=> 2x+1; 3x+1 nguyên tố cùng nhau
Suy ra $\frac{2x+ 1}{3x+1}$ không là số nguyên (đpcm)

 

[lengoctutb]

2/ C/m gt biểu thức sau không là số nguyên
b. [tex]\sqrt{x^2+\sqrt{4x^2+\sqrt{16x^2+\sqrt{100x^2+39x+\sqrt{3}}}}}[/tex] với x thuộc N

Xét biểu thức $A=\sqrt{ax^{2}+b}$$.$ Ta giả sử trong đó $a,x \in \mathbb{Z}$ và $b$ là một số thỏa mãn $ax^{2}+b\geq 0$
Khi đó để $A$ là số nguyên thì $ax^{2}+b=k^{2}$ $(k \in \mathbb{N})$ $\Leftrightarrow k^{2}-ax^{2}=b$$.$ Do $a,x \in \mathbb{Z}$$,$ $k \in \mathbb{N}$ nên $b \in \mathbb{Z}$
Vậy để $A$ nguyên thì tối thiểu ta cần $b$ nguyên$.$
Trở lại bài toán$,$ ta đặt $M= \sqrt{x^2+\sqrt{4x^{2}+\sqrt{16x^{2}+\sqrt{100x^{2}+39x+\sqrt{3}}}}}$$,$ $\forall x \in \mathbb{N}$
Để $M$ nguyên thì ta cần tối thiểu $N= \sqrt{4x^{2}+\sqrt{16x^{2}+\sqrt{100x^{2}+39x+\sqrt{3}}}}$ là số nguyên$,$ $\forall x \in \mathbb{N}$
Để $N$ nguyên thì ta cần tối thiểu $P= \sqrt{16x^{2}+\sqrt{100x^{2}+39x+\sqrt{3}}}$ là số nguyên$,$ $\forall x \in \mathbb{N}$
Để $P$ nguyên thì ta cần tối thiểu $Q= \sqrt{100x^{2}+39x+\sqrt{3}}$ là số nguyên$,$ $\forall x \in \mathbb{N}$
Để $Q$ nguyên thì $100x^2+39x+\sqrt{3}=m^{2}$ $(m \in \mathbb{N})$ $\Leftrightarrow \sqrt{3}=m^{2}-100x^2-39x$ $($Điều này vô lý do $x,m \in \mathbb{N}$ mà trong khi đó $\sqrt{3}$ là số vô tỷ$)$
Vậy $M$ không thể là số nguyên $\forall x \in \mathbb{N}$ $($đpcm$)$

 

[Akira Rin]

Xét biểu thức $A=\sqrt{ax^{2}+b}$$.$ Ta giả sử trong đó $a,x \in \mathbb{Z}$ và $b$ là một số thỏa mãn $ax^{2}+b\geq 0$
Khi đó để $A$ là số nguyên thì $ax^{2}+b=k^{2}$ $(k \in \mathbb{N})$ $\Leftrightarrow k^{2}-ax^{2}=b$$.$ Do $a,x \in \mathbb{Z}$$,$ $k \in \mathbb{N}$ nên $b \in \mathbb{Z}$
Vậy để $A$ nguyên thì tối thiểu ta cần $b$ nguyên$.$
Trở lại bài toán$,$ ta đặt $M= \sqrt{x^2+\sqrt{4x^{2}+\sqrt{16x^{2}+\sqrt{100x^{2}+39x+\sqrt{3}}}}}$$,$ $\forall x \in \mathbb{N}$
Để $M$ nguyên thì ta cần tối thiểu $N= \sqrt{4x^{2}+\sqrt{16x^{2}+\sqrt{100x^{2}+39x+\sqrt{3}}}}$ là số nguyên$,$ $\forall x \in \mathbb{N}$
Để $N$ nguyên thì ta cần tối thiểu $P= \sqrt{16x^{2}+\sqrt{100x^{2}+39x+\sqrt{3}}}$ là số nguyên$,$ $\forall x \in \mathbb{N}$
Để $P$ nguyên thì ta cần tối thiểu $Q= \sqrt{100x^{2}+39x+\sqrt{3}}$ là số nguyên$,$ $\forall x \in \mathbb{N}$
Để $Q$ nguyên thì $100x^2+39x+\sqrt{3}=m^{2}$ $(m \in \mathbb{N})$ $\Leftrightarrow \sqrt{3}=m^{2}-100x^2-39x$ $($Điều này vô lý do $x,m \in \mathbb{N}$ mà trong khi đó $\sqrt{3}$ là số vô tỷ$)$
Vậy $M$ không thể là số nguyên $\forall x \in \mathbb{N}$ $($đpcm$)$

bạn ơi, bạn rút gọn hộ mình 2 câu nhỏ này với
[tex]M=\sqrt{\frac{(x^2-3)^2+12x^2}{x^2}}+\sqrt{(x+2)^2-8x}[/tex]
và [tex]N=(\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}+\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}+\frac{3x+3}{9-x}) : (\frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x-3}}-\frac{1}{2})[/tex]

 

[lengoctutb]

bạn ơi, bạn rút gọn hộ mình 2 câu nhỏ này với
[tex]M=\sqrt{\frac{(x^2-3)^2+12x^2}{x^2}}+\sqrt{(x+2)^2-8x}[/tex]
và [tex]N=(\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}+\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}+\frac{3x+3}{9-x}) : (\frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x-3}}-\frac{1}{2})[/tex]

$M= \sqrt{\frac{(x^{2}-3)^{2}+12x^{2}}{x^{2}}}+\sqrt{(x+2)^{2}-8x}=\sqrt{\frac{x^{4}-6x^{2}+9+12x^{2}}{x^{2}}}+\sqrt{x^{2}+4x+4-8x}= \sqrt{\frac{x^{4}+6x^{2}+9}{x^{2}}}+\sqrt{x^{2}-4x+4}$
$M= \sqrt{\frac{(x^{2}+3)^{2}}{x^{2}}}+\sqrt{(x-2)^{2}}=|\frac{x^{2}+3}{x}|+ |x-2|=\frac{x^{2}+3}{|x|}+|x-2|$ $(x^{2}+3 \geq 3 > 0)$
Khi $x \geq 2$ thì $M= \frac{x^{2}+3}{x}+x-2=\frac{x^{2}+3+x(x-2)}{x}=\frac{2x^{2}-2x+3}{x}$
Khi $0 < x < 2$ thì $M= \frac{x^{2}+3}{x}+2-x=\frac{x^{2}+3+x(2-x)}{x}=\frac{2x+3}{x}$
Khi $x<0$ thì $M= \frac{x^{2}+3}{-x}+2-x=\frac{x^{2}+3-x(2-x)}{-x}=\frac{2x^{2}-2x+3}{-x}$

 

[Akira Rin]

$M= \sqrt{\frac{(x^{2}-3)^{2}+12x^{2}}{x^{2}}}+\sqrt{(x+2)^{2}-8x}=\sqrt{\frac{x^{4}-6x^{2}+9+12x^{2}}{x^{2}}}+\sqrt{x^{2}+4x+4-8x}= \sqrt{\frac{x^{4}+6x^{2}+9}{x^{2}}}+\sqrt{x^{2}-4x+4}$
$M= \sqrt{\frac{(x^{2}+3)^{2}}{x^{2}}}+\sqrt{(x-2)^{2}}=|\frac{x^{2}+3}{x}|+ |x-2|=\frac{x^{2}+3}{|x|}+|x-2|$ $(x^{2}+3 \geq 3 > 0)$
Khi $x \geq 2$ thì $M= \frac{x^{2}+3}{x}+x-2=\frac{x^{2}+3+x(x-2)}{x}=\frac{2x^{2}-2x+3}{x}$
Khi $0 < x < 2$ thì $M= \frac{x^{2}+3}{x}+2-x=\frac{x^{2}+3+x(2-x)}{x}=\frac{2x+3}{x}$
Khi $x<0$ thì $M= \frac{x^{2}+3}{-x}+2-x=\frac{x^{2}+3-x(2-x)}{-x}=\frac{2x^{2}-2x+3}{-x}$

N thì sao bạn?

 

[lengoctutb]

N thì sao bạn?

Mình nghĩ $N$ dễ chứ chỉ cần quy đồng thôi

 

[Akira Rin]

Mình nghĩ $N$ dễ chứ chỉ cần quy đồng thôi

cái số chia k dễ đâu bạn