C/m $\frac{n^5}{5}+ \frac{n^3}{3}+ \frac{7n}{15}$ là số nguyên

[kiev]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

C/m $\frac{n^5}{5}+ \frac{n^3}{3}+ \frac{7n}{15}$ là số nguyên

các bạn nhớ gíup mình nhé thank nhiều

 

[harrypham]

Đặt [TEX]A= \frac{n^5}{5}+ \frac{n^3}{3}+ \frac{7n}{15}= \frac{3n^5+5n^3+7n}{15}[/TEX].

Để chứng minh [TEX]A \in \mathbb{Z}[/TEX], ta sẽ đi chứng minh [TEX]3n^5+5n^3+7n[/TEX] chia hết cho [TEX]15[/TEX].

Thật vậy, phân tích [TEX]3n^5+5n^3+7n[/TEX]
[TEX]=3(n^5-n)+5(n^3-n)+15n[/TEX]
[TEX]=3n(n^4-1)+5n(n^2-1)+15n[/TEX]
[TEX]=3n(n-1)(n+1)(n^2+1)+5(n-1)n(n+1)+15n[/TEX]
[TEX]=3n(n-1)(n+1)(n^2-4+5)+5(n-1)n(n+1)+15n[/TEX]
[TEX]= 3(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)+15n(n-1)(n+1)+5(n-1)n(n+1)+15n[/TEX]

Ta có [TEX]n-2,n-1,n,n+1,n+2[/TEX] là 5 số nguyên liên tiếp nên tồn tại một số chia hết cho [TEX]5[/TEX], suy ra tích chúng chia hết cho 5, nên [TEX]3(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)[/TEX] chia hết cho [TEX]15[/TEX].

[TEX]n-1,n,n+1[/TEX] là ba số nguyên liên tiếp nên tồn tại một số chia hết cho [TEX]3[/TEX], suy ra tích chúng chia hết cho 3, nên [TEX]5(n-1)n(n+1)[/TEX] chia hết cho [TEX]15[/TEX].

Ta có đpcm.