c/m chia hết

[minh1910]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

C/m $19^{19}$+$69^{69}$ chia hết cho 44
Mọi người giải nhanh giùm mình nhé. Thanks mọi người nhìu ạk!!!!!!!!!!

 

[blacksun200]

1) 19^19+69^19=(19+69)(19^18 – 19^17 *69 + 19^16*67^2 - …… - 19*69^17 + 19*69^16)
Mà 19+69=88 và 88 chia hết cho 4 nên (19+69)(19^18 – 19^17 *69 + 19^16*67^2 - …… - 19*69^17 + 19*69^16) chia hết cho 4 hay 19^19+69^19 chia hết cho 4

 

[baochauhn1999]

Ta có:
$19^{19}+69^{19}=(19+69)(19^{18} – 19^{17}.69 + 19^{16}.67^{2} - …… - 19.69^{17} + 19.69^{16})$
Mà: $19+69=88$ và $88$ chia hết cho $44$ nên:
$(19+69)(19^{18} – 19^{17}.69 + 19^{16}.67^{2} - …… - 19.69^{17} + 19.69^{16})$ chia hết cho $44$ hay $19^{19}+69^{19}$ chia hết cho $44$

 

[popstar1102]

Ta có:
$19^{19}+69^{19}=(19+69)(19^{18} – 19^{17}.69 + 19^{16}.67^{2} - …… - 19.69^{17} + 19.69^{16})$
Mà: $19+69=88$ và $88$ chia hết cho $44$ nên:
$(19+69)(19^{18} – 19^{17}.69 + 19^{16}.67^{2} - …… - 19.69^{17} + 19.69^{16})$ chia hết cho $44$ hay $19^{19}+69^{19}$ chia hết cho $44$

hình như đề là $19^{19}+69^{69}$ mà!!
_________________________________
___________________________________
______________________________________
________________________________________

 

[kienthuc_toanhoc]

Ơ đề các cậu làm sai rồi,đề phải là C/m $19^{19}$+$69^{69}$ chia hết cho 44 chứ đâu phải C/m $19^{19}$+$69^{19}$ chia hết cho 44.Các cậu xem lại nhé!
C/m $19^{19}$+$69^{69}$ chia hết cho 44
Bài làm
Đối với bài này ta sẽ sử dụng nhị thức newton mới ra được!
Ta có $19^{19}$+$69^{69}$=$19^{19}$+$25^{19}$+$69^{69}$-$25^{69}$+$25^{69}$-$25^{19}$
Sử dụng Nhị thức newton với $19^{19}$+$25^{19}$ sẽ chia hết cho 44.$69^{69}$-$25^{69}$ sẽ chia hết cho 44.
=>$19^{19}$+$25^{19}$+$69^{69}$-$25^{69}$ chia hết cho 44.
Ta chỉ còn việc chứng minh $25^{69}$
-$25^{19}$ chia hết cho 44 là được.
Ta có $25^{69}$-$25^{19}$=$25^{19}$.($25^{50}$-1)=$25^{19}$.($25^{25}$+1).($25^{25}$-1).
Sử dụng nhị thức newton với $25^{25}$-1 ta được $25^{25}$-1 chia hết cho $25^5$-1 hay chia hết cho 44
=>$25^{69}$
-$25^{19}$ chia hết cho 44
=>$19^{19}$+$25^{19}$+$69^{69}$-$25^{69}$+$25^{69}$
-$25^{19}$ chia hết cho 44
hay $19^{19}$+$69^{69}$ chia hết cho 44
=>đpcm.