Toán c/m biểu thức

[Akira Rin]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

m.n giúp e mấy bài này vs ạ :r3:r3:r3
1) c/m [tex]\dpi{100} \frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\geq \frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{a}{b}[/tex]
2) c/m [tex]\dpi{100} (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1\geq 0[/tex]
3) c/m [tex]\dpi{100} x^2+xy+y^2-3x-3y+3\geq 0[/tex]
mk kém mấy dạng c/m này lắm, m.n giúp đỡ mk vs ạ :r3:r3:r3

 

[Akira Rin]

huhu, giúp mk vs :r3

 

[Akira Rin]

hic hic, giúp vs

 

[Nữ Thần Mặt Trăng]

m.n giúp e mấy bài này vs ạ :r3:r3:r3
1) c/m [tex]\dpi{100} \frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\geq \frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{a}{b}[/tex]
2) c/m [tex]\dpi{100} (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1\geq 0[/tex]
3) c/m [tex]\dpi{100} x^2+xy+y^2-3x-3y+3\geq 0[/tex]
mk kém mấy dạng c/m này lắm, m.n giúp đỡ mk vs ạ :r3:r3:r3

1. xem lại đề sao lại là $\color{red}{\dfrac{a}{b}}+\dfrac{b}{a}+\color{red}{\dfrac{a}{b}}$ nhỉ ^^
2.
Đặt $A=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1
\\=(x^2+5x+4)(x^2+5x+6)+1$
Đặt $x^2+5x+5=y\Rightarrow A=(y-1)(y+1)+1=y^2-1+1=y^2\geq 0$
$\Rightarrow $...................................
3.
$x^2+xy+y^2-3x-3y+3
\\=(x^2+\dfrac{y^2}{4}+\dfrac{9}{4}+xy-3x-\dfrac{3y}{2})+\dfrac{3}{4}(y^2-2y+1)
\\=(x+\dfrac{y}{2}-\dfrac{3}{2})^2+\dfrac{3}{4}(y-1)^2\geq 0$
Dấu '=' xảy ra khi $x=y=1$

 

[Akira Rin]

1. xem lại đề sao lại là $\color{red}{\dfrac{a}{b}}+\dfrac{b}{a}+\color{red}{\dfrac{a}{b}}$ nhỉ ^^
2.
Đặt $A=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1
\\=(x^2+5x+4)(x^2+5x+6)+1$
Đặt $x^2+5x+5=y\Rightarrow A=(y-1)(y+1)+1=y^2-1+1=y^2\geq 0$
$\Rightarrow $...................................
3.
$x^2+xy+y^2-3x-3y+3
\\=(x^2+\dfrac{y^2}{4}+\dfrac{9}{4}+xy-3x-\dfrac{3y}{2})+\dfrac{3}{4}(y^2-2y+1)
\\=(x+\dfrac{y}{2}-\dfrac{3}{2})^2+\dfrac{3}{4}(y-1)^2\geq 0$
Dấu '=' xảy ra khi $x=y=1$

à, câu 1 là [tex]\dpi{100} \frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{a}{b}[/tex]

 

[Akira Rin]

1. xem lại đề sao lại là $\color{red}{\dfrac{a}{b}}+\dfrac{b}{a}+\color{red}{\dfrac{a}{b}}$ nhỉ ^^
2.
Đặt $A=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1
\\=(x^2+5x+4)(x^2+5x+6)+1$
Đặt $x^2+5x+5=y\Rightarrow A=(y-1)(y+1)+1=y^2-1+1=y^2\geq 0$
$\Rightarrow $...................................
3.
$x^2+xy+y^2-3x-3y+3
\\=(x^2+\dfrac{y^2}{4}+\dfrac{9}{4}+xy-3x-\dfrac{3y}{2})+\dfrac{3}{4}(y^2-2y+1)
\\=(x+\dfrac{y}{2}-\dfrac{3}{2})^2+\dfrac{3}{4}(y-1)^2\geq 0$
Dấu '=' xảy ra khi $x=y=1$

bạn làm tắt quá, mk k hỉu

 

[Nữ Thần Mặt Trăng]

à, câu 1 là [tex]\dpi{100} \frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{a}{b}[/tex]

1. Áp dụng BĐT Cô-si $a^2+b^2\geq 2ab$ ta có:
$\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}\geq \dfrac{2ab}{bc}=\dfrac{2a}{c};\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}\geq \dfrac{2bc}{ca}=\dfrac{2b}{a};\dfrac{c^2}{a^2}+\dfrac{a^2}{b^2}\geq \dfrac{2ca}{ab}=\dfrac{2c}{b}
\\\Rightarrow 2(\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2})\geq 2(\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b})$
$\Rightarrow $ đpcm
Dấu '=' xảy ra khi $a=b=c$

bạn làm tắt quá, mk k hỉu

2.
Ta có: $(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1
\\=[(x+1)(x+4)][(x+2)(x+3)]+1
\\=(x^2+5x+4)(x^2+5x+6)+1$
Đặt $x^2+5x+5=y$
$\Rightarrow (x^2+5x+4)(x^2+5x+6)\\=(y-1)(y+1)+1\\=y^2-1+1=y^2\geq 0$
hay $(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1\geq 0$

3. Ta có HĐT $(a+b-c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab-2bc-2ca$
$x^2+xy+y^2-3x-3y+3
\\=\left (x^2+\dfrac{y^2}{4}+\dfrac{9}{4}+xy-\dfrac{3y}{2}-3x \right )+\left (\dfrac{3}{4}y^2-\dfrac{3}{2}y+\dfrac{3}{4} \right )
\\=\left [x^2+\left (\dfrac{y}2 \right )^2+\left (\dfrac{3}{2} \right )^2+2.x.\dfrac{y}{2}-2.\dfrac{y}{2}.\dfrac{3}{2}-2.\dfrac{3}{2}.x \right ]+\dfrac{3}{4}(y^2-2y+1)
\\=\left (x+\dfrac{y}{2}-\dfrac{3}{2} \right )^2+\dfrac{3}{4}(y-1)^2\geq 0$
Dấu '=' xảy ra khi $x=y=1$