C/m BĐT

[angleofdarkness]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Mình có hai bài BĐT, nhờ các bạn c/m giúp:

Bài 1:

$\dfrac{1}{\sqrt{n^2 + 1}}$ + $\dfrac{1}{\sqrt{n^2 + 2}}$ + ... + $\dfrac{1}{\sqrt{n^2 + 2009}}$ < 1, n thuộc N*.

Bài 2:

$\dfrac{2n}{2n + 3}$.$\dfrac{2(n – 1)}{2n + 1}$.$\dfrac{2(n – 2)}{2n - 1}$. …$\dfrac{6}{9}$.$\dfrac{4}{7}$.$\dfrac{2}{5}$. $\dfrac{2}{3}$ < $\dfrac{1}{\sqrt{(n + 1)^3}}$ với n thuộc N*.

 

[eye_smile]

Bài 1 có lẽ sai đề:
Với $n=0$ thì BĐT trở thành:
$\dfrac{1}{\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+....$ không thể nhỏ hơn 1 được

 

[angleofdarkness]

Bài 1 có lẽ sai đề:
Với $n=0$ thì BĐT trở thành:
$\dfrac{1}{\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+....$ không thể nhỏ hơn 1 được

ok, đã chỉnh, mặc dù đã có đáp án nhưng mình vẫn để đề ở đây để mọi người cùng giải

 

[thinhrost1]

Bài 1: Ta đi chứng minh công thức tổng quát:

$\dfrac{1}{\sqrt{n^2 + 1}}$ + $\dfrac{1}{\sqrt{n^2 + 2}}$ + ... + $\dfrac{1}{\sqrt{n^2 + n}}<1 $

Thật vậy:

$\dfrac{1}{\sqrt{n^2 + 1}} + \dfrac{1}{\sqrt{n^2 + 2}} + ... + \dfrac{1}{\sqrt{n^2 + n}}<\dfrac{1}{\sqrt{n^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{n^2}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{n^2}}=\dfrac{n}{n}=1$

Với $n=2009$ bài toán được chứng minh.

 

[duchieu300699]

Bài 1: Ta đi chứng minh công thức tổng quát:

$\dfrac{1}{\sqrt{n^2 + 1}}$ + $\dfrac{1}{\sqrt{n^2 + 2}}$ + ... + $\dfrac{1}{\sqrt{n^2 + n}}<1 $

Thật vậy:

$\dfrac{1}{\sqrt{n^2 + 1}} + \dfrac{1}{\sqrt{n^2 + 2}} + ... + \dfrac{1}{\sqrt{n^2 + n}}<\dfrac{1}{\sqrt{n^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{n^2}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{n^2}}=\dfrac{n}{n}=1$

Với $n=2009$ bài toán được chứng minh.

Trong bài này 2009 không phụ thuộc vào n mà là 1 số cố định, n chạy từ [1;+\infty] tự do

Còn thịnh đi c/m BĐT chỉ đúng với TH $n=2009$ còn các TH còn lại thì BĐT chưa chắc đúng.

Bài 1:

$\dfrac{1}{\sqrt{n^2 + 1}}$ + $\dfrac{1}{\sqrt{n^2 + 2}}$ + ... + $\dfrac{1}{\sqrt{n^2 + 2009}}$ < 1, n thuộc N*.

Theo tớ nghĩ đề bài này nhầm tiếp, chỉ cần thay $n=1$ vào $\dfrac{1}{\sqrt{n^2 + 1}} + \dfrac{1}{\sqrt{n^2 + 2}}+\dfrac{1}{\sqrt{n^2 + 3}}$ là nó đủ > 1 rồi

 

[thinhrost1]

Cám ơn anh Hiếu ! Thực ra câu 1 đề sai rồi $n=2009$ vẫn nhỏ hơn 1 nhưng với $n=1$ lại lớn hơn 1 không biết đáp án của chị angleofdarkness là như thế nào :|

Làm bài 2 vậy !

$P(n)=\dfrac{2}{3}(\prod_{x=1}^{n}\dfrac{2x}{2x+3})<\dfrac{1}{\sqrt{(x+1)^3}}$

Với n=1:

$P(1)=\dfrac{2}{3}(\prod_{x=1}^{1}\dfrac{2x}{2x+3})<\dfrac{1}{\sqrt{(1+1)^3}}$ (Đúng)

Giả sử BĐT đúng với $n=k$ ta sẽ chứng minh nó đúng với $n=k+1$, thật vậy:

Trước hết ta có:

$9(k+1)^3(2k+5)^2-4(k+2)^3(2k+2)^2=(k+1)^2(20k^3+120k^2+213k+97) >0 ( \forall k>0)$

Nên: $(\dfrac{2k+2}{2k+5})^2<\dfrac{9}{4}\dfrac{(k+1)^3}{(k+2)^3} \\\Leftrightarrow \dfrac{2k+2}{2k+5}<\dfrac{3}{2}.\sqrt{\dfrac{(k+1)^3}{(k+2)^3}} \\\Leftrightarrow \dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{\sqrt{(1+k)^3}}.\dfrac{2k+2}{2k+5}<\dfrac{1}{\sqrt{(k+2)^3}}$

Nên:

$P(k+1)=\dfrac{2}{3}(\prod_{x=1}^{k+1}\dfrac{2x}{2x+3})< \dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{\sqrt{(1+k)^3}}. \dfrac{2k+2}{2k+5}<\dfrac{1}{\sqrt{(k+2)^3}}$

Vậy BDT đúng với $k+1$ nên theo nguyên lí qui nạp ta có đpcm.