C/m BĐT!

[lykkenaturligsen]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Với a, b, c là các số thực dương, c/m rằng:

$\sqrt{a^2 + b^2} + \sqrt{b^2 + c^2} + \sqrt{c^2 + a^2}$ \geq $\sqrt{2}(a +b + c)$​

 

[huongmot]

Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho các số dương
Ta có:
$2(a^2+b^2)\ge (a+b)^2$
\Rightarrow $ \sqrt{2(a^2+b^2)}\ge a+b$
Tương tự
$\sqrt{2(b^2+c^2)}\ge b+c$
$\sqrt{2(a^2+c^2)}\ge a+c$
\Rightarrow $ \sqrt{2}(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{a^2+c^2})\ge 2(a+b+c)$
\Rightarrow $ \sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{a^2+c^2}\ge \sqrt{2}(a+b+c)$ (đpcm)

 

[quanghao98]

Với a, b, c là các số thực dương, c/m rằng:

$\sqrt{a^2 + b^2} + \sqrt{b^2 + c^2} + \sqrt{c^2 + a^2}$ \geq $\sqrt{2}(a +b + c)$​

sử dụng bất đẩng thức:
$\sqrt{a^2+b^2}$+$\sqrt{b^2+c^2}$+$\sqrt{c^2+a^2}$ \geq $\sqrt{(a+b+c)^2+(b+c+a)^2}$=$\sqrt{2.(a+b+c)^2}$ = $\sqrt{2}(a+b+c)$

 

[pe_lun_hp]

Với a, b, c là các số thực dương, c/m rằng:

$\sqrt{a^2 + b^2} + \sqrt{b^2 + c^2} + \sqrt{c^2 + a^2}$ \geq $\sqrt{2}(a +b + c)$​

Dễ thấy :

$(a+b)^2 \leq 2(a^2 + b^2)$

$\Rightarrow a+b \leq \sqrt{2(a^2 + b^2)}$

Tương tự :

$b+c \leq \sqrt{2(b^2 + c^2)}$

$a+c \leq \sqrt{2(a^2 + c^2)}$

Cộng vào :

$2(a+b+c) \leq \sqrt{2}(\sqrt{a^2 + b^2} + \sqrt{b^2 + c^2} + \sqrt{c^2 + a^2})$

$\Rightarrow\sqrt{2}(a +b + c) \leq \sqrt{a^2 + b^2} + \sqrt{b^2 + c^2} + \sqrt{c^2 + a^2}$

(Q.E.D)

 

[654321sss]

Với a, b, c là các số thực dương, c/m rằng:

$\sqrt{a^2 + b^2} + \sqrt{b^2 + c^2} + \sqrt{c^2 + a^2}$ \geq $\sqrt{2}(a +b + c)$​

​

Áp Dụng BĐT [TEX]a^2+b^2\geq\frac{(a+b)^2}{2}[/TEX]

Ta có
[TEX] \sum \sqrt{a^2+b^2}\geq\frac{a+b}{\sqrt{2}}[/TEX] (ĐPCM)