C/m BĐT dùng phép biến đổi tương đương

[saobangkhoc141999]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b,c >0. Chứng minh:
[tex]\frac{a}{b+c} + \frac{b}{a+c} + \frac{c}{b+a} \geq \frac{3}{2}[/tex]
Chú ý: Chỉ dùng phương pháp biến đổi tương đương không dùng đẳng thức Cosi. Cô mình yêu cầu vậy

 

[happy.swan]

Có:
$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}$ \geq $\frac{3}{2}$
\Leftrightarrow $ \frac{a}{b+c}-\frac{1}{2}+\frac{b}{a+c}-\frac{1}{2}+\frac{c}{a+b}-\frac{1}{2}$ \geq 0
\Leftrightarrow $\frac{2a-b-c}{b+c}+\frac{2b-a-c}{a+c}+\frac{2c-a-b}{a+b}$ \geq 0

Có: a, b, c > 0(giả thiết)
áp dụng tiếp là được.

 

[letsmile519]

Đây nhá:
Đặt a+b=x; b+c=y; c+a=z
=> a= (x-y+z)/2 ; b=(y-z+x)/2 ; c=(z-x+y)/2
=> a/b+c + b/c+a + c/a+b
= (x-y+z)/2.(x) + (y-z+x)/2(y) + (z-x+y)/2z
Sau đó bạn quy đồng bt có mẫu chung là 2xyz là ra luôn thôi à

 

[vy000]

\Leftrightarrow $\frac{2a-b-c}{b+c}+\frac{2b-a-c}{a+c}+\frac{2c-a-b}{a+b}$ \geq 0

Có: a, b, c > 0(giả thiết)
áp dụng tiếp là được.

Và bạn ý không biết làm ở cái chỗ áp dụng tiếp ý )

 

[soicon_boy_9x]

$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b} \geq \dfrac{3}{2}$

$\leftrightarrow \dfrac{a}{b+c}+1+\dfrac{b}{a+c}+1+\dfrac{c}{a+b}+1 \geq \dfrac{9}{2}$

$\leftrightarrow (a+b+c)(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+c}) \geq \dfrac{9}{2}$

$\leftrightarrow [(a+b)+(b+c)+(c+a)](\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+c}) \geq 9(*)$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số ta có:

$[(a+b)+(b+c)+(c+a)](\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+c}) \geq
3\sqrt[3]{(a+b)(b+c)(c+a)}. 3\sqrt[3]{\dfrac{1}{(a+b)(b+c)(c+a)}}=9$

$\rightarrow$ BĐT (*) đúng

Vậy $dpcm$

 

[conga222222]

Cho a,b,c >0. Chứng minh:
[tex]\frac{a}{b+c} + \frac{b}{a+c} + \frac{c}{b+a} \geq \frac{3}{2}[/tex]
Chú ý: Chỉ dùng phương pháp biến đổi tương đương không dùng đẳng thức Cosi. Cô mình yêu cầu vậy

\[\begin{array}{l}
\frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{a + c}} + \frac{c}{{b + a}} \ge \frac{3}{2}(1)\\
dat\left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{{3a}}{{a + b + c}} > 0\\
y = \frac{{3b}}{{a + b + c}} > 0\\
z = \frac{{3c}}{{a + b + c}} > 0
\end{array} \right.\\
\to x + y + z = 3\\
co:\\
\frac{x}{{y + z}} = \frac{x}{{3 - x}} \ge \frac{{3x - 1}}{4}(1)\\
neu:3x - 1 < 0 \to dung\\
neu:3x - 1 \ge 0\\
(1) \leftrightarrow 4x \ge \left( {3 - x} \right)\left( {3x - 1} \right)\\
\leftrightarrow 3{x^2} - 6x + 3 \ge 0\\
\leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} \ge 0,dung\\
tuong,tu\\
\to \frac{y}{{z + x}} \ge \frac{{3y - 1}}{4}\\
\frac{z}{{x + y}} \ge \frac{{3z - 1}}{4}\\
\frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{a + c}} + \frac{c}{{b + a}} = \frac{x}{{y + z}} + \frac{y}{{z + x}} + \frac{z}{{x + y}} \ge \frac{{3(x + y + z) - 3}}{4} = \frac{3}{2}\\
dau = \leftrightarrow x = y = z = 1 \leftrightarrow a = b = c
\end{array}\]