c/m bđt a(a+b)(a^2+b^2)+b(b+c)(b^2+c^2)+c(c+b)(c^2+a^2) >=0 với a,b,c là các số thực

H

hoang_duythanh

bạn ghi nhầm đề đoạn cuối phải là $c(c+a)(c^2+a^2)$ chứ ko phải là $c(c+b)(c^2+a^2)$
cách này làm hơi dài chút:
tách ra nhân hết với nhau dc :$a^4+b^4+c^4+a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+ab(a^2+b^2)+bc(b^2+c^2)+ca(c^2+a^2)$
nhận thấy $a^4+b^4+c^4+a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=\frac{(a^2+b^2)^2+(b^2+c^2)^2+(c^2+a^2)^2}{2}$\geq0. dấu = khi a=b=c=0
ấp dụng bđt cô-si cho $a^2$ và $b^2$ ko âm => $a^2+b^2$\geq2ab
tương tự => $ab(a^2+b^2)+bc(b^2+c^2)+ca(c^2+a^2)$ \geq $2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2$\geq0 .dấu = xảy ra khi a=b=c=0
=>bđt ban đầu luôn \geq 0 ,,dấu = xảy ra khi a=b=c=0
 
F

forum_

Bài này dễ! :)

Ta có: $(a+b)^2$ \geq 0

\Leftrightarrow a(a+b) \geq $\dfrac{a^2 - b^2}{2}$

\Leftrightarrow $a(a+b)(a^2+b^2)$ \geq $\dfrac{a^4 - b^4}{2}$

Tương tự: $b(b+c)(b^2+c^2)$ \geq $\dfrac{b^4 - c^4}{2}$

$c(c+a)(c^2+a^2)$ \geq $\dfrac{c^4 - a^4}{2}$

Cộng các bđt lại vế theo vế suy ra đpcm
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom