C/m bất đẳng thức

[meownali]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Cho [tex]a>0,b>0[/tex]. C/m [tex]\frac{a}{\sqrt{b}}-\sqrt{a}\geq \sqrt{b}-\frac{b}{\sqrt{a}}[/tex]
2. Cho [tex]a\neq 0,b\neq 0[/tex]. C/m [tex]a^{4}+b^{4}\leq \frac{a^{6}}{b^{2}}+\frac{b^{6}}{a^{2}}[/tex]
3. C/m [tex]\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{z^{2}}+\frac{z^{2}}{x^{2}}\geq \frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{x}{z}[/tex]
4. Cho x+y=1. C/m [tex]x^{4}+y^{4}\geq \frac{1}{8}[/tex]
5. C/m [tex]\frac{x^{2}+y^{2}}{2}\geq (\frac{x+y}{2})^{2}[/tex]
6. [tex]\forall a,b>0[/tex]. C/m [tex]\frac{a^{3}}{b}+b^{3}> a^{2}+ab[/tex]
7. C/m x>0,y>0 thì [tex]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y}[/tex] (theo 3 cách)

 

[Nguyễn Mạnh Trung]

1. Cho [tex]a>0,b>0[/tex]. C/m [tex]\frac{a}{\sqrt{b}}-\sqrt{a}\geq \sqrt{b}-\frac{b}{\sqrt{a}}[/tex]

1)Ta có:
[tex]\frac{a}{\sqrt{b}}+\sqrt{b}\geq 2\sqrt{\frac{a}{\sqrt{b}}.\sqrt{b}}=2\sqrt{a}\\\frac{b}{\sqrt{a}}+\sqrt{a}\geq 2\sqrt{\frac{b}{\sqrt{a}}.\sqrt{a}}=2\sqrt{b} \\\Leftrightarrow \frac{a}{\sqrt{b}}+\sqrt{b}+\frac{b}{\sqrt{a}}+\sqrt{a}\geq2\sqrt{a}+2\sqrt{b} \\\Leftrightarrow DPCM[/tex]
dấu "=" xảy ra khi a=b

 

[Otaku8874]

1. Cho [tex]a>0,b>0[/tex]. C/m [tex]\frac{a}{\sqrt{b}}-\sqrt{a}\geq \sqrt{b}-\frac{b}{\sqrt{a}}[/tex]
2. Cho [tex]a\neq 0,b\neq 0[/tex]. C/m [tex]a^{4}+b^{4}\leq \frac{a^{6}}{b^{2}}+\frac{b^{6}}{a^{2}}[/tex]
3. C/m [tex]\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{z^{2}}+\frac{z^{2}}{x^{2}}\geq \frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{x}{z}[/tex]
4. Cho x+y=1. C/m [tex]x^{4}+y^{4}\geq \frac{1}{8}[/tex]
5. C/m [tex]\frac{x^{2}+y^{2}}{2}\geq (\frac{x+y}{2})^{2}[/tex]
6. [tex]\forall a,b>0[/tex]. C/m [tex]\frac{a^{3}}{b}+b^{3}> a^{2}+ab[/tex]
7. C/m x>0,y>0 thì [tex]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y}[/tex] (theo 3 cách)

 

[Otaku8874]

1. Cho [tex]a>0,b>0[/tex]. C/m [tex]\frac{a}{\sqrt{b}}-\sqrt{a}\geq \sqrt{b}-\frac{b}{\sqrt{a}}[/tex]
2. Cho [tex]a\neq 0,b\neq 0[/tex]. C/m [tex]a^{4}+b^{4}\leq \frac{a^{6}}{b^{2}}+\frac{b^{6}}{a^{2}}[/tex]
3. C/m [tex]\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{z^{2}}+\frac{z^{2}}{x^{2}}\geq \frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{x}{z}[/tex]
4. Cho x+y=1. C/m [tex]x^{4}+y^{4}\geq \frac{1}{8}[/tex]
5. C/m [tex]\frac{x^{2}+y^{2}}{2}\geq (\frac{x+y}{2})^{2}[/tex]
6. [tex]\forall a,b>0[/tex]. C/m [tex]\frac{a^{3}}{b}+b^{3}> a^{2}+ab[/tex]
7. C/m x>0,y>0 thì [tex]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y}[/tex] (theo 3 cách)

 

[Nữ Thần Mặt Trăng]

2. Cho

. C/m

3. C/m

4. Cho x+y=1. C/m

5. C/m

$2.$ Áp dụng BĐT Cô-si ta có:
$\dfrac{a^6}{b^2}+a^2b^2\geq 2a^4;\dfrac{b^6}{a^2}+a^2b^2\geq 2b^4
\\\Rightarrow \dfrac{a^6}{b^2}+\dfrac{b^6}{a^2}\geq a^4+b^4+(a^4-2a^2b^2+b^4)=a^4+b^4+(a^2-b^2)^2\geq a^4+b^4$
Dấu '=' xảy ra khi $a=\pm b$
$3.$ phải là $\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{z^2}+\dfrac{z^2}{x^2}\geq \dfrac{z}{y}+\dfrac{y}{x}+\dfrac{x}{z}$ chứ nhỉ? ^^
Áp dụng BĐT Cô-si ta có:
$\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{z^2}\geq 2.\dfrac{x}{z};\dfrac{y^2}{z^2}+\dfrac{z^2}{x^2}\geq 2.\dfrac{y}{x};\dfrac{z^2}{x^2}+\dfrac{x^2}{y^2}\geq 2.\dfrac{z}{y}
\\\Rightarrow 2(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{z^2}+\dfrac{z^2}{x^2})\geq 2(\dfrac{x}{z}+\dfrac{y}{x}+\dfrac{z}{y})
\\\Rightarrow ..........................$
Dấu '=' xảy ra khi $x=y=z$
$4.$ Áp dụng BĐT $a^2+b^2\geq \dfrac{(a+b)^2}2$ ta có:
$x^4+y^4\geq \dfrac{(x^2+y^2)^2}{2}\geq \dfrac{\left [\dfrac{(x+y)^2}{2} \right ]^2}{2}=\dfrac{(x+y)^4}{8}=\dfrac{1}{8}$
Dấu '=' xảy ra khi $x=y=\dfrac12$

 

[Trung Lê Tuấn Anh]

C/m

[tex]\frac{x^{2}+y^{2}}{2}=\frac{2x^{2}+2y^{2}}{4}\geq (\frac{x+y}{2})^{2}[/tex]
dấu "=" khi x=y

. Cho x+y=1. C/m

A=[tex]x^{4}+y^{4}=((x+y)^{2}-2xy)^{2}-2x^{2}y^{2}[/tex]
mà
[tex](x+y)^{2}\geq 4xy\rightarrow \left\{\begin{matrix} 2xy\leq \frac{1}{2}\\ 2x^{2}y^{2}\leq \frac{1}{8} \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\rightarrow A\geq (1-\frac{1}{2})^{2}-\frac{1}{8}=\frac{1}{8}[/tex]
dấu= khi x=y=[tex]\frac{1}{2}[/tex]

 

[Nguyễn Mạnh Trung]

1. Cho [tex]a>0,b>0[/tex]. C/m [tex]\frac{a}{\sqrt{b}}-\sqrt{a}\geq \sqrt{b}-\frac{b}{\sqrt{a}}[/tex]
3. C/m [tex]\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{z^{2}}+\frac{z^{2}}{x^{2}}\geq \frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{x}{z}[/tex]

ta có :
[tex]\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{z^{2}}\geq 2/\frac{x}{z}/\geq 2\frac{x}{z}[/tex]
tương tự với các cặp số khác, cộng vế theo vế rồi chia 2 all là ra nhé

 

[Nguyễn Mạnh Trung]

$2.$ Áp dụng BĐT Cô-si ta có:
$\dfrac{a^6}{b^2}+a^2b^2\geq 2a^4;\dfrac{b^6}{a^2}+a^2b^2\geq 2b^4
\\\Rightarrow \dfrac{a^6}{b^2}+\dfrac{b^6}{a^2}\geq a^4+b^4+(a^4-2a^2b^2+b^4)=a^4+b^4+(a^2-b^2)^2\geq a^4+b^4$
Dấu '=' xảy ra khi $x=\pm y$
$3.$ phải là $\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{z^2}+\dfrac{z^2}{x^2}\geq \dfrac{z}{y}+\dfrac{y}{x}+\dfrac{x}{z}$ chứ nhỉ? ^^
Áp dụng BĐT Cô-si ta có:
$\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{z^2}\geq 2.\dfrac{x}{z};\dfrac{y^2}{z^2}+\dfrac{z^2}{x^2}\geq 2.\dfrac{y}{x};\dfrac{z^2}{x^2}+\dfrac{x^2}{y^2}\geq 2.\dfrac{z}{y}
\\\Rightarrow 2(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{z^2}+\dfrac{z^2}{x^2})\geq 2(\dfrac{x}{z}+\dfrac{y}{x}+\dfrac{z}{y})
\\\Rightarrow ..........................$
Dấu '=' xảy ra khi $x=y=z$
$4.$ Áp dụng BĐT $a^2+b^2\geq \dfrac{(a+b)^2}2$ ta có:
$x^4+y^4\geq \dfrac{(x^2+y^2)^2}{2}\geq \dfrac{\left [\dfrac{(x+y)^2}{2} \right ]^2}{2}=\dfrac{(x+y)^4}{8}=\dfrac{1}{8}$
Dấu '=' xảy ra khi $x=y=\dfrac12$

câu 3 là hoán vị vòng quanh thôi
mà đề không cho dk nên phải có giá trị tuyệt đối nha !!

 

[Otaku8874]

1. Cho [tex]a>0,b>0[/tex]. C/m [tex]\frac{a}{\sqrt{b}}-\sqrt{a}\geq \sqrt{b}-\frac{b}{\sqrt{a}}[/tex]
2. Cho [tex]a\neq 0,b\neq 0[/tex]. C/m [tex]a^{4}+b^{4}\leq \frac{a^{6}}{b^{2}}+\frac{b^{6}}{a^{2}}[/tex]
3. C/m [tex]\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{z^{2}}+\frac{z^{2}}{x^{2}}\geq \frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{x}{z}[/tex]
4. Cho x+y=1. C/m [tex]x^{4}+y^{4}\geq \frac{1}{8}[/tex]
5. C/m [tex]\frac{x^{2}+y^{2}}{2}\geq (\frac{x+y}{2})^{2}[/tex]
6. [tex]\forall a,b>0[/tex]. C/m [tex]\frac{a^{3}}{b}+b^{3}> a^{2}+ab[/tex]
7. C/m x>0,y>0 thì [tex]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y}[/tex] (theo 3 cách)

 

[Nữ Thần Mặt Trăng]

câu 3 là hoán vị vòng quanh thôi
mà đề không cho dk nên phải có giá trị tuyệt đối nha !!

uk hoán vị vòng quanh thì phải là $\dfrac{z}{y}+\dfrac{y}{x}+\dfrac{x}{z}$ nhỉ? ^^
còn về cái kia thì BĐT $a^2+b^2\geq 2ab$ luôn đúng vs $\forall \ a,b$ mà bạn ^^
p/s: @Otaku8874 Lần sau ko chia nhỏ bài viết nha chị ^^

 

[Nguyễn Mạnh Trung]

uk hoán vị vòng quanh thì phải là $\dfrac{z}{y}+\dfrac{y}{x}+\dfrac{x}{z}$ nhỉ? ^^
còn về cái kia thì BĐT $a^2+b^2\geq 2ab$ luôn đúng vs $\forall \ a,b$ mà bạn ^^
p/s: @Otaku8874 Lần sau ko chia nhỏ bài viết nha chị ^^

mình nhầm , hoán vi chứ không phải hoán vị vòng quanh.
cón cai bđt mình nhầm với cói nên ....